Смекни!
smekni.com

Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами (стр. 2 из 3)

По полученным значениям VА, VБ, VВ вычисляются вероятности безотказного электроснабжения энергорайонов - V№1 и V№2 . Для энергорайона №1 схема замещения по надежности показана на рис. 2.


Для данной схемы вероятность V№1 определиться как:

V№1 = РГ .РТ .(1-(1- РА)(1- РБ)) = 0.95 .0.985 .(1-(1- 0.96)(1- 0.96)) = 0 .934.

Для энергорайона №2 схема замещения по надежности линейна, поэтому

V№2 = VВ = 0.8.

Вероятность безотказной работы системы в целом определиться в соответствии с теоремой умножения для совместных событий

Vsys = V№1 . V№2 = 0.934 ··0.8 = 0.7472.

Метод статистических испытаний

Для решения данной задачи методом Монте-Карло предполагается использовать датчик случайных чисел v с равномерным распределением в интервале [0..1]. Эти числа сравниваются со значениями VА , VБ, VВ . Сформулируем решающее правило:

если значение случайного числа v не больше вероятности работоспособного состояния каждой из подстанций

v Vj , , j

{ А, Б, В }, (4)

то соответствующая подстанция находится в рабочем состоянии, иначе – в обесточенном состоянии.

На этом принципе строятся «испытания» по оценке состояний системы. Если в результате разыгрывания «состояний подстанций» отказов в электроснабжении не будет, то испытание признается положительным, в противном случае – отрицательным. Вероятность безотказной работы системы Usys в этом методе определяется по формуле:

Usys = N+/ N = 1 - N-/ N , (5)

где N – общее число испытаний, N+ - число положительных, N- - число отрицательных испытаний, N = N+ + N- .

Результат каждого испытания удобно представить значением двоичной (бинарной) переменной bj , принимающей значение 1, если выполнен критерий (4) и 0 в ином случае:

если vVj то bj = 1 иначе bj = 0.

Из рис. 1 и выражений (4) и (5) следует:

bsys = (bA+bБbВ , (6)

где bsys состояние системы.

Тогда, после N испытаний, значение N+ можно определить как

N+

В таблице №1 показана реализация данной методики (подготовлена в Excel) и приведены результаты разыгрывания случайных состояний системы методом Монте-Карло при числе испытаний N = 10.

По данным из таблицы №1 получаем статистическую оценку вероятности работоспособного состояния системы: число значений bsys = 0 равно трем, то есть

N- = 3, N+ = 7, Usys = 7/10 = 0.7.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | Usys- Vsys| = 0.7- 0.7472 = 0.0472. (7)

Относительная погрешность

= (
/ Vsys) 100% = 0.0472/0.7472 = 6.3%. (8)

В соответствии с заданием, увеличим число испытаний вдвое. Для этого достаточно модифицировать данные в Excel – таблице, снова подсчитать число значений bsys = 0 и, сложив с прежним, получим (показан фрагмент таблицы)

N- = 3+2, N+ = 20 – 5 = 15, Usys = 15/20 = 0.75.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | Usys- Vsys| = 0.75 - 0.7472 = 0.0028.

Относительная погрешность

= (
/ Vsys) 100% = 0.0028/0.7472 = 0.4%.

Дополнительные замечания о методе Монте-Карло

1. Известно, что точность оценки искомых характеристик тем выше, чем больше число испытаний. Для того чтобы выбрать величину N для конкретных испытаний, задаются вероятностью (доверительной) получения правильного решения, обычно принимаемого равной 0.997, что соответствует диапазону ± 3σ для нормального распределения, где σ = √D - с.к.о. исследуемой случайной величины. Тогда необходимое число испытаний определится из формулы

δ' =

(9)

где δ' – заданная погрешность определения искомой величины.

Для получения более точного результата число испытаний согласно (9), должно быть равно

N = (0.675· σ / δ' )2

Допустим, мы хотим иметь погрешность на уровне 0.001 (0.1%), т.е. быть уверенными что при решении данной задачи методом статистического моделирования значение Usys будет находится в диапазоне

0.7472 .( 1 ± 0.001) = [0.7464, 0.7479].

Исходя из правила «три сигма», зададим величину σ как крайний возможный случай:

σ = ( 1- Vsys ) / 3 = (1-0.7472)/3 = 0.084.

Тогда требуемое число испытаний будет равно

N = (0.675·0.084/0.001) = 3215.

2. В приведенных выше расчетах принята упрощенная модель статистических испытаний с использованием расчетных вероятностей безотказной работы подстанций, а не отдельных элементов системы, с целью сокращения размерности задачи. Не учитывались также вероятности одновременного отказа нескольких элементов, что необходимо для получения правдоподобных результатов.

3. Датчик случайных чисел с равномерным распределением используется при отсутствии каких-либо сведений о фактическом законе распределения. Достоинство равномерного распределения – простота применения, так как нет необходимости в определении его параметров. Но оценки, полученные в численных экспериментах, оказываются «пессимистическими», если реальный закон существенно отличается от равномерного. Кроме того, датчики случайных чисел с равномерным распределением плохо «работают» при очень малых или очень больших значениях вероятности. Поэтому при выборе модели статистических испытаний большое внимание уделяется обоснованию использования того или иного закона распределения.

Таблица 1

Анализ надежности методом Монте-Карло

Блок

ВБР

V

b

Блок

ВБР

V

b

А

0,898

0,144601

1

А

0,898

0,722673

1

Б

0,898

0,338975

1

Б

0,898

0,580761

1

В

0,8

0,285878

1

В

0,8

0,862889

0

(А+Б)

ИСТИНА

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

SYS=(А+Б)*В

1

SYS=(А+Б)*В

0

А

0,898

0,284892

1

А

0,898

0,531509

1

Б

0,898

0,133744

1

Б

0,898

0,157723

1

В

0,8

0,710715

1

В

0,8

0,206039

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

SYS=(А+Б)*В

1

SYS=(А+Б)*В

1

А

0,898

0,621382

1

А

0,898

0,344317

1

Б

0,898

0,803256

1

Б

0,898

0,752622

1

В

0,8

0,99176

0

В

0,8

0,714726

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

SYS=(А+Б)*В

0

SYS=(А+Б)*В

1

А

0,898

0,189668

1

А

0,898

0,043997

1

Б

0,898

0,943037

1

Б

0,898

0,305982

1

В

0,8

0,774708

1

В

0,8

0,26292

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

SYS=(А+Б)*В

1

SYS=(А+Б)*В

1

А

0,898

0,647489

1

А

0,898

0,523631

1

Б

0,898

0,196592

1

Б

0,898

0,788625

1

В

0,8

0,937071

0

В

0,8

0,295981

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

(А+Б)

ИСТИНА

1

SYS=(А+Б)*В

0

SYS=(А+Б)*В

1

Фрагменты модифицированной таблицы: