Устойчивость систем дифференциальных уравнений (стр. 4 из 12)

с матрицей

. Так как , то . Мультипликаторы являются собственными числами матрицы

,

где

— решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям , а — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям . Пусть — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где .

2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки

порождает траекторию . Рассмотрим другую траекторию той же системы , стартовая точка которой близка к . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория называется устойчивой по Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в -окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение

(1)

где

и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

и , где — константа, не зависящая от выбора точек и .

Предположим, что уравнение (1) имеет решение

, определенное при , и что . Чтобы перейти к исследованию нулевого решения, выполним в (1) замену . В результате получим уравнение

, (2)

где

определена в области, содержащей множество . Это уравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть — решение (2) с начальными данными .

Определение. Решение

уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для , такое, что при .

Решение

называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что при .

Неустойчивость решения

означает следующее: существуют положительное , последовательность начальных точек при , и последовательность моментов времени такие, что .

При исследовании вопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену

, где функция определена при всех и непрерывна по z при равномерно относительно , причем . Пусть уравнение однозначно разрешимо относительно z: , где определена на множестве и непрерывна по y при равномерно относительно . Пусть уравнение (2) заменой можно преобразовать в уравнение .

Лемма. При сделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения

.

Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество

называется областью притяжения решения .

2.2. Устойчивость линейных однородных систем.

Пусть

(3)

— вещественная система,

— ее произвольное решение. Замена приводит (3) к виду , т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения. Следовательно, все решения уравнения (3) устойчивы по Ляпунову, асимптотически устойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивости уравнения (3), понимая под этим устойчивость всех его решений, в частности тривиального.

Лемма 1. Пусть

и или , где — неособая при всех матрица, ограниченная по норме вместе с обратной . Тогда ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме при тогда и только тогда, когда обладает таким свойством.