Устойчивость систем дифференциальных уравнений (стр. 6 из 12)

Замечание. Если полином

есть полином Гурвица степени , то вектор монотонно поворачивается в положительном направлении на угол , то есть годограф Михайлова, выходя из точки положительной полуоси , последовательно пересекает полуоси , проходя квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е.

, (4)

где

. По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где — неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, — жорданова матрица, собственные числа которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда постоянна. Учитывая, что , где — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения

: , где . Поэтому можно сделать вывод, что при оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка.

Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть

, где . Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения или . Его корни можно найти по формуле

.

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

1)

вещественны, различны и ( ). Параметрические уравнения траекторий: . Положение равновесия называется узел. Если корни положительны ( ), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если

отрицательны ( ), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

2)

вещественны и ( ). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.

3)

комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые ( ). Решение в полярных координатах запишется в виде , где . Если ( ), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если

( ), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

4)

( ). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.

5)

. Если , то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если , положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

6) Один из корней равен нулю (например

). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если , то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если , то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корня равны нулю. Тогда

. Особая точка неустойчива.

Пример. Рассмотрим систему

. Положение равновесия находится из уравнения , или , откуда . Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид: