Аддитивные проблемы теории чисел (стр. 1 из 5)

.

Ł

1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3

1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª -

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 ˇ ƺ Ł - ¸Ł º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 ˆŁ —Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 ß ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 º Æ ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 — ł æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 ˜Łæ æŁ ßØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 ˛æ ß ß ß. 15

Ł Ł ß Æº ß ŁŁ Łæ º XVII - XX .

´ Ł .

Ł Ł Ł Łæ º - º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł

º ŁŁ ºßı Łæ º æº ª ß ª Ł , Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı , æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł ß æ Ł Ł ß Ł Ł. ˛Æß æ-

æ Ł æ Ł Ł ß Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.

1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.

˚ Œº ææŁ æŒŁ	ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ :
1. ˇ ƺ	´ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł
æ ß s = s(k)	Ł º ßı k− ı æ Ø æ ŁŒæŁ ß k > l;
2. ˇ ƺ	ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı º ßı Łæ º, Æ º łŁı 5,
æ Ø ı	æ ßı Ł ƺ غ - ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı Łæ º,
Æ º łŁı 2, æ	Ø ı æ ßı ( æ º ß 1742);
˛æº ƺ	ƺ ˆ º Æ ı . ˇ ƺ æ º Ł º ßı Łæ º æ -
Ø ª Ł	ª Łæº æ ßı;
3. ˇ ƺ	Ł - ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº , Æ º ł ª 1,
Ł æ ß	æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .);
4. Ł Ł	ƺ ºŁ º Ø;
5. ˇ ƺ	ºŁ º Ø Ł ł ;
6. ˙ Ł	æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı ßı Łæ º æ Ł ı
Łæ º æ ª Ł	ß Łæº æ ßı æ Ł º Ø;
7. ˙ Ł	æ º ŁŁ ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß -
ß Ł Ł º ªŁ ß Ł; Œ ªŁ Ł. ˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ , ºª Æ- Ł æŒŁ , º ß Ł æ ł ß ß, Œ ß, æ ß -

æ ßı æ Æ Ł ı. ´ ŁæŁ æ Ł ł Ł , Ł Ł ß Ł ı

æ æ Ø æ ªŁ ºß ŁŁ Łæ º - ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ ß ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.

1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª .

ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ . ´	Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº -
ø Ł : æ Œ º Łæº æ æ	ß ı Œ , Ł Œ Æ ,
Ł ßı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº	Ł:	º º Æ ª n > 2 æ ø æ -
Œ k = k(n) , Łæ ø º Œ n, º Æ	º Łæº æ æ A: n−
æ Ø Ł º ßı ºßı Łæ º. ˇ	Æø	ł Ł ƺ ß ´ Ł ª æ
ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł ß k ŁæŁ æ Ł	n	1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D.
Hilbert), æ Ł æ ƺ ´ Ł ª Ł ª	ß	æ ƺ Ø ˆŁº Æ - ´ -
Ł ª . ¯æºŁ Jk,n(N) Æ Ł Łæº ł Ł	ŁØ	ºßı Ł º ßı Łæº ı

ˆŁº Æ Ł º Æ N > 1.	, æ ø æ K = k(n), º Œ ª Jk,n(N) > 1
´ 1928 ª. ˆ. X.	Ł Ł ˜	. ¨. ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J . ¯. Littlewood), Ł Ł

Œ ƺ ´ Ł ª Œ ª Ø , Œ ºŁ, Ł k > (n − 2)2ⁿ⁻¹ + 5 º J_k,n(N)

Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł

J_k,n(N) = ANk/n−1 + O(Nk/n−1−γ)

ª A = A(N) > c₀ > 0, c₀ Ł γ > 0 - Œ ß æ ß . º º , Ł

N > N₀(n) Łæı Ł Ł ł Ł . ´ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ

Ł ƺ ß: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G(n),g(n),k₀− Ł łŁı ºßı

Łæ º, º Œ ßı:

) Łæı Ł łŁ Ł k > G(n) Ł N > N₀(n);

Æ) Łæı Ł łŁ Ł k > g(n) Ł N > 1;

) º ºŁ Ł ß J_k,n(N) Ł k > k₀(n) Ł æ Ł … ßł æŁ ŁæŒ º .

) ¨ æ , G(n) > n + 1

´ 1934 ª. ¨. . ´Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G(n) 6

3n(lnn + 9)

˚ ª , Ł æ ª º æŁ º G(n) º Æ º łŁı ŁØ n: G(4) = 16 (X. ˜ , ˝. Davenport, 1939), G(3) = 7 ( . ´. ¸Ł Œ, 1942).

Æ) ´ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ . ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ´Ł ª -

, Œ ºŁ,

º æ ı n > 6, º Œ ßı

ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ

Æ º łŁı n.

) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł ¨. . ´Ł ª , Œ ßØ Œ º,

k₀ 6 4n² lnn.

º Œ º æ ƺ ß ´ Ł ª . ´. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ ßı Æ Æø ŁØ ƺ ß ´ Ł ª ( ß Æ ª

Œ æ æ º ßı Łæ º; æ º

æ º ŁŁ Łæº n ææ Ł æ ª º ß f₁(x₁),f₂(x₂),...,f_k(x_k); æ

Łæı ª Ł

ææ Ł æ æ Ł Ł . .). ˛æ Æ Ł ƺ ß ´ Ł ª æ æ Ł , Ł ł ŁŁ æ ß ø ß ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .

˛ Ł Ł æ ßı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª , æ Œ º Łæº , Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º. ƺ ß Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)

Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ´ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ ß æ Œ , Œ Łæº æ æ ı æ ßı. ´ Ł

ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .

´ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜ . ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ , æºŁ ß Œ ß ß ( Œ ß Ł ß ) æŁ º L˜Ł Łıº , æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º.

´ 1937 ª. ¨. . ´Ł ª æ º ßØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ ß Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª -