Из 1-3 следует, что

- алгебра над полем

.
Замечание:

- некоммутативная алгебра с единицей Е над полем

.
4. Алгебра Грассмана над полем
.Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов

, обладающих свойствами:
(a) *свойство антикоммутативности*

(1)
(b) любое другое соотношение между образующими элементами

является следствием соотношения (1), в частности

Обозначение:

- алгебра Грассмана с

образующими элементами.
Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.
Начнем с алгебры

. В этом случае имеется только один образующий элемент

, причем

, и, поэтому

. Следовательно, произвольный элемент алгебры

есть

.
Рассмотрим алгебру

, содержащую два образующих элемента

, причем
. Путем их перемножения можно построить еще один элемент

. Таким образом, произвольный элемент алгебры

выглядит так:

.
Обратимся теперь к общему случаю

. Здесь мы имеем

образующих элементов

. Перемножая эти элементы получим мономы

, где индексы

принимают значения

.
Заметим теперь, что любой моном

, где

, всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей

какой-нибудь из элементов

встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение

.В результате, мы получаем следующие независимые мономы:

. Следовательно, произвольный элемент алгебры

имеет вид:

(2)
где

. По повторяющимся индексам

подразумевается суммирование от 1 до

в каждом слагаемом.
Следствия.
1. Любой моном, содержащий ровно

сомножителей, равен с точностью до знака произведению

.
2. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента

некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами

Подсчитаем число базисных элементов.
Число образующих

равно

, число мономов

- числу сочетаний из

элементов по 2, то есть

, число мономов

- числу сочетаний из

элементов по 3, то есть

, и так далее.
В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет

Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности

.
Список литературы.
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.
3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.