Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 13 из 16)
Если
, тогда получим уравнение: 
Дискриминант этого уравнения равен:
.Уравнение (2) будет иметь один корень при
и 
. Два корня --- при 
и 
.Делаем вывод, что при
уравнение (1) имеет один корень, а уравнение (2) --- два корня. При , уравнение (1) имеет два корня, а уравнение (2) --- один.Таким образом, при
и данное уравнение имеет три корня.Найдем эти корни. При
, первое уравнение примет вид: 
. Оно имеет один корень: 
Уравнение (2) примет вид:
которое имеет два корня: 
, 
.При
, уравнение (2) примет вид: 
. Оно имеет один корень: 
.Уравнение (1) при этом станет:
, которое будет иметь корни: 
, 
.Ответ. При
, 
, 
, 
.При
, , 
, .Пример Для каждого значения параметра 
определите число решений уравнения 
.
Решение.
1. Если
, тогда уравнение не имеет решений, модуль любого вещественного числа неотрицателен.2. Если
, тогда получим уравнение 
. Это уравнение имеет два корня, так как 
.3. Если
, тогда получаем совокупность двух уравнений: 
Первое уравнение имеет дискриминант:
. Оно не будет иметь корней при 
, 
, но это невозможно, так как . Также оно не может иметь один корень (тогда 
, что также невозможно). Таким образом, при уравнение (1) имеет два корня.Второе уравнение имеет дискриминант:
. Оно не будет иметь корней, если 
, 
, 
. Будет иметь один корень, если 
. Будет иметь два корня, если 
.Окончательно получаем.
Ответ. Если
, тогда уравнение не имеет корней.Если
и , тогда уравнение имеет два корня.Если
, тогда уравнение имеет три корня.Если
, тогда уравнение имеет четыре корня.Пример Найдите все значения параметра из промежутка 
, при каждом из которых больший из корней уравнения 
принимает наибольшее значение.
Решение.
Преобразуем уравнение к виду
.Значит, если
, 
, тогда 
. Найдем наибольшее значение 
, при котором 
, т. е. наибольшее решение неравенства 
.Преобразуем это неравенство:
, 
, 
, 
, 
.Последнее неравенство решим методом интервалов, помня, что
.Решение неравенства будет множество:
.Ясно, что дробь
принимает наибольшее значение при 
, тогда значение будет равно: 
.Ответ. При
.Пример Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение.
Решение.
Найдем решения для каждого значения
, а затем отберем те, которые удовлетворяют условию задачи, т. е. при которых уравнение имеет единственное решение.Для каждого фиксированного
будем искать решения данного уравнения сначала на промежутке 
, а потом на промежутке 
, поскольку модуль обращается в нуль при 
:1) Пусть
. На этом промежутке 
и поэтому данное уравнение примет вид 
.