Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 6 из 16)
Решение.
Ответ.
.Как ни странно, но
достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.Пример Решить неравенство
Решение.
Ответ.
.Пример Решить неравенство
Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид
. Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем 
Ответ.
.Пример При каких значениях параметра 
неравенство
выполняется при всех значениях
?Решение. Исходное уравнение равносильно системе:
Выполнение для всех
исходного неравенства равносильно выполнению для всех неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырёх квадратных трёхчленов неположительны: 
Ответ.
.Пример Найти все значения параметра 
, при каждом из которых число целочисленных решений неравенства
максимально.
Решение. Так как
то исходное уравнение равносильно системе: 
Поскольку оба неравенства в системе линейны относительно
. Решим систему относительно : 
Условия существования параметра
равносильно требованию 
Неравенство объявляет все значения
, которые могут быть решением исходного неравенства хотя бы при одном значении параметра. Следовательно, целочисленными решениями исходного неравенства могут быть только целые числа из промежутка 
, то есть 
Естественно, что для любого целого числа из набора надо выяснить, при каких значениях параметра
это число будет решением исходного неравенства.Поскольку исходное неравенство равносильно , то поочерёдно подставляя числа из набора в неравенства , мы сразу и найдём все соответствующие значения параметра. Имеем
Чтобы выявить значения параметра, при которых исходное неравенство имеет максимальное число целочисленных решений, воспользуемся ``разверткой'', полученной информации вдоль от параметра (см. рис. ):
Очевидно, что максимальное количество целочисленных решений равно трём, и это достигается, когда
или 
.Ответ.
.Графическое решение уравнений и неравенств с модулем
Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).
Построение графиков вида 
, 
и 
Отметим правило построения графика функции
.1) Строим сначала график функции
.2) Там, где график функции
лежит выше оси 
или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси , заменяем симметричными им относительно оси точками.Для примера, на рисунке изображен график функции
. 
Для построения графика функции
cтроим график функции для 
и отображаем симметрично относительно оси 
.Для примера, на рисунке изображен график функции
. 
Для построения графика функции
строим график функции для 
и симметрично отображаем относительно оси .Для примера, на рисунке изображен график функции
. 
Пример Построить график функции 
.
Решение. Воспользуемся правилами преобразования графиков.
1. График функции
--- биссектриса первого и третьего координатных углов.2. График функции
получается из графика функции отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при 
) симметрично относительно оси абсцисс.3. График функции
получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции
.5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции (см. рис ).
Исследуемая функция допускает другую форму записи
Пример В зависимости от параметра 
, найти количество решений уравнения