Фигура

называется подобной фигуре

, если существует подобие, отображающее

. В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом

, есть также подобие с коэффициентом

. Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.
Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек

, заданных так, что треугольник

подобен треугольнику

. Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.
По определению, треугольники называются подобными и одинаково ориентированными (подобие 1 рода) тогда и только тогда, когда

(углы ориентированные). С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:

Равенства
эквивалентны одному

или

где

- комплексное число,

– коэффициент подобия.
Составим формулы подобия первого и второго рода. При одинаковой ориентации треугольников

имеем:

откуда

При противоположных ориентациях этих треугольников получим:

откуда

Итак, получены формулы для подобия первого и второго рода.
Проведем обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул

где

и

– постоянные комплексные числа,

не может быть равна нулю. Тогда это преобразование первого или второго рода соответственно. Если точки

переходят в точки

, то при первом преобразовании

, а при втором

Следовательно, в обоих случаях

Очевидно, если

, то вышеприведенными формулами задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно.
Принадлежность трех точек прямой
Комплексное число

есть отношение трех точек

. Угол

между прямыми, пересекающимися в точке

и проходящими через точки

равен аргументу отношения

:

есть ориентированный угол между ориентированными прямыми

.
Условием того, что три точки

лежат на одной прямой, является вещественность отношения

этих трех точек или то, что угол

или

.
Доказательство
Т.к. три точки лежат на одной прямой, то они коллинеарны. Следовательно, по условию коллинеарности, отношение

– действительное число.∎
Принадлежность четырех точек окружности
Условием того, что четыре точки

лежат на одной окружности является то, что разность углов

или

, или вещественность их двойного отношения

, т.е., аналогично условию принадлежности трех точек прямой, отношение

является двойным отношением четырех точек

.
Доказательство
Если точки

коллинеарны, то отношения

– действительные числа (по критерию коллинеарности точек). Следовательно, в этом случае будет действительно и двойное отношение.
Если точки

лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:
1) точки

находятся в одной полуплоскости относительно прямой

,
2) точки

лежат в различных полуплоскостях относительно прямой

.
В первом случае ориентированные углы

равны, во втором случае

, т.е.

В обоих случаях разность

или

. Но т.к. эта разность равна

то w – действительное число.∎
Ортоцентр треугольника
Рассмотрим треугольник

. Условимся, что

, т.е. все вершины треугольника принадлежат единичной окружности (центр описанной окружности
O- начало координат, а радиус - единица длины). Таким образом очевидно, что точка

, которая равна

есть вершина ромба

, из чего следует, что прямые взаимно перпендикулярны как диагонали ромба; точка

является серединой стороны

треугольника

. Точка

– вершина параллелограмма

, т.е.

, т.е.

- высота треугольника

, а

– точка пересечения высоты со стороной

. Аналогично можно доказать, что прямые

и

- высоты треугольника

. Поэтому

- точка пересечения высот треугольника, т.е. является ортоцентром.