Применение комплексных чисел в элементарной геометрии (стр. 3 из 4)

Рассмотрим теперь некоторые свойства ортоцентра треугольника.
Из рисунка видно, что расстояние от ортоцентра треугольника до точки

, симметричной центру описанной окружности относительно стороны , равно радиусу окружности , описанной вокруг треугольника . Аналогично для и , симметричных центру описанной окружности относительно сторон треугольника. Поэтому окружности , с центром в точках соответственно, равны окружности , и ортоцентр треугольника является точкой пересечения этих окружностей.

Также мы можем увидеть, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника. Возьмем отрезки

и . Они равны, как противоположные стороны параллелограмма, а прямая является половиной отрезка (по свойствам ромба).

Окружность и прямая Эйлера

Рассмотрим точку

Очевидно, что это точка пересечения диагоналей параллелограмма , и через неё проходит средняя линия параллелограмма, причем

Таким образом, окружность с центром и радиусом проходит через точку - середину стороны - и через точку - середину отрезка . Аналогично можно доказать, что эта окружность проходит и через точки

двух других сторон и середины отрезков двух других высот. Окружность

впервые была рассмотрена Леонардом Эйлером и называется окружностью Эйлера. Также её называют окружностью девяти точек треугольника, т.к. она проходит через девять замечательных точек: – середины сторон, - основания высот, - середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с ортоцентром.

Прямая

называется прямой Эйлера треугольника. Ей принадлежат центр Oописанной окружности треугольника , точка

пересечения медиан, точка

пересечения высот и центр

окружности Эйлера, причем

Прямая Симсона треугольника

Дана единичная окружность S плоскости комплексных чисел, описанная вокруг треугольника

. Найдем основания перпендикуляров , опущенных из некоторой точки этой окружности на стороны . Основание перпендикуляра, опущенного из точки окружности на хорду выражается числом

т.к.

является точкой пересечения перпендикулярных секущих к окружности.

Отсюда следует, что

Находим:

Поскольку точки

, , и принадлежат одной окружности S, то полученное двойное отношение вещественно, из этого следует, что вещественно и исходное отношение и следовательно, три точки принадлежат одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона (точки относительно треугольника ).

Выведем теперь уравнение прямой Симсона

. Будем исходить из формы уравнения прямой, проходящей через точки :

нормируем это уравнение, поделив все его члены на коэффициент при :

Положив здесь , получим следующее выражение для коэффициента при :

(т.к. и аналогично для , и ). Чтобы определить свободный член C уравнения, достаточно подставить это уравнение

тогда

а т.к.

Получаем окончательное уравнение: