Смекни!
smekni.com

Теория нумераций (стр. 11 из 22)

Наоборот, если

– частичный порядок, то пусть
– последовательность всех вполне перечислимых подмножеств
(число их не более чем счетно); пусть
, тогда без труда проверяется, что последовательность <
> рекурсивно перечислимых множеств удовлетворяет определениям 1) и 2) отделимой нумерации.

Введем на

топологию
, задав ее базисом, состоящим из всех вполне перечислимых подмножеств
(легко проверить, что пересечение двух вполне перечислимых подмножеств
также вполне перечислимо).

Предложение 10. Топология

является отделимой (т.е. (
,
) –
– пространство) тогда и только тогда, когда нумерация
отделима.

Нумерованное множество

= (
,
) назовем отделимым, если выполнено одно из следующих трех эквивалентных условий:

1) нумерация

отделима;

2) предпорядок

является частичным порядком;

3) топология

отделима.

Категория нумерованных множеств и ее свойства

В предыдущем параграфе изучались нумерации подмножеств некоторого множества и отношение сводимости между нумерациями. Обратимся теперь к «взаимодействию» произвольных нумерованных множеств. Наиболее естественным путем для такого изучения является соответствующей категории – категории

нумерованных множеств.

Перейдем к точным определениям. Объектами категории

являются все нумерованные множества, включая «пустое» нумерованное множество О. Если
– произвольное нумерованное множество, то существует и притом единственный морфизмo из О в
. Если
= (
,
) и
= (
,
) – произвольные не пустые нумерованные множества, то морфизмом из
в
назовем всякое отображение
, для которого существует функция
такая, что
, иными словами, если диаграмма

f

NN

коммутативна. То, что

– морфизм из
в
, будет обозначаться так:
. Множество всех морфизмов из
в
обозначим через Mor (
). Композиция морфизмов определяется естественным образом. Объект О является нулевым объектом категории
.

Отметим следующие простые свойства морфизмов.

1. Если

= (
,
) и
= (
,
),
– вполне перечислимое множество, а
– морфизм из
в
, то
– вполне перечислимое подмножество
.