Наоборот, если
– частичный порядок, то пусть – последовательность всех вполне перечислимых подмножеств (число их не более чем счетно); пусть , тогда без труда проверяется, что последовательность < > рекурсивно перечислимых множеств удовлетворяет определениям 1) и 2) отделимой нумерации.Введем на
топологию , задав ее базисом, состоящим из всех вполне перечислимых подмножеств (легко проверить, что пересечение двух вполне перечислимых подмножеств также вполне перечислимо).Предложение 10. Топология
является отделимой (т.е. ( , ) – – пространство) тогда и только тогда, когда нумерация отделима.Нумерованное множество
= ( , ) назовем отделимым, если выполнено одно из следующих трех эквивалентных условий:1) нумерация
отделима;2) предпорядок
является частичным порядком;3) топология
отделима.Категория нумерованных множеств и ее свойства
В предыдущем параграфе изучались нумерации подмножеств некоторого множества и отношение сводимости между нумерациями. Обратимся теперь к «взаимодействию» произвольных нумерованных множеств. Наиболее естественным путем для такого изучения является соответствующей категории – категории
нумерованных множеств.Перейдем к точным определениям. Объектами категории
являются все нумерованные множества, включая «пустое» нумерованное множество О. Если – произвольное нумерованное множество, то существует и притом единственный морфизмo из О в . Если = ( , ) и = ( , ) – произвольные не пустые нумерованные множества, то морфизмом из в назовем всякое отображение , для которого существует функция такая, что , иными словами, если диаграмма f NNкоммутативна. То, что
– морфизм из в , будет обозначаться так: . Множество всех морфизмов из в обозначим через Mor ( ). Композиция морфизмов определяется естественным образом. Объект О является нулевым объектом категории .Отметим следующие простые свойства морфизмов.
1. Если
= ( , ) и = ( , ), – – вполне перечислимое множество, а – морфизм из в , то – – вполне перечислимое подмножество .