Наоборот, если

– частичный порядок, то пусть

– последовательность всех вполне перечислимых подмножеств

(число их не более чем счетно); пусть

, тогда без труда проверяется, что последовательность <

> рекурсивно перечислимых множеств удовлетворяет определениям 1) и 2) отделимой нумерации.
Введем на
топологию 
, задав ее базисом, состоящим из всех вполне перечислимых подмножеств

(легко проверить, что пересечение двух вполне перечислимых подмножеств

также вполне перечислимо).
Предложение 10. Топология

является отделимой (т.е. (

,

) –

– пространство) тогда и только тогда, когда нумерация

отделима.
Нумерованное множество

= (

,

) назовем
отделимым, если выполнено одно из следующих трех эквивалентных условий:
1) нумерация

отделима;
2) предпорядок

является частичным порядком;
3) топология

отделима.
Категория нумерованных множеств и ее свойства
В предыдущем параграфе изучались нумерации подмножеств некоторого множества и отношение сводимости между нумерациями. Обратимся теперь к «взаимодействию» произвольных нумерованных множеств. Наиболее естественным путем для такого изучения является соответствующей категории – категории

нумерованных множеств.
Перейдем к точным определениям. Объектами категории

являются все нумерованные множества, включая «пустое» нумерованное множество
О. Если

– произвольное нумерованное множество, то существует и притом единственный
морфизмo из
О в

. Если

= (

,

) и

= (

,

) – произвольные не пустые нумерованные множества, то
морфизмом из 
в

назовем всякое отображение

, для которого существует функция

такая, что

, иными словами, если диаграмма
f
NN

коммутативна. То, что

– морфизм из

в

, будет обозначаться так:

. Множество всех морфизмов из

в

обозначим через Mor (

). Композиция морфизмов определяется естественным образом. Объект
О является нулевым объектом категории

.
Отметим следующие простые свойства морфизмов.
1. Если

= (

,

) и

= (

,

),

–

– вполне перечислимое множество, а

– морфизм из

в

, то

–

– вполне перечислимое подмножество

.