Теория нумераций (стр. 12 из 22)

Действительно, пусть

такова, что . Тогда . Таким образом, fm – сводит к рекурсивно перечислимому множеству , следовательно, будет – вполне перечислимым.

2. Если

– морфизм из = ( , ) в = ( , ), то сохраняет предпорядки, определенные нумерациями, т.е. .

Следует из 1.

3. Если

– морфизм из = ( , ) в = ( , ), то – непрерывное отображение топологического пространства ( , ) в топологическое пространство ( , ).

Следует из 1.

Еще несколько определений. Через N, будем обозначать нумерованное множество ( N ,

). Для любого множества через Э ( ) обозначим множество всех отношений эквивалентности на множестве . Это множество относительно естественного отношения включения является полной решеткой; если Э ( ), то и обозначают точную верхнюю и соответственно нижнюю грань элементов . Для Э ( ), через обозначим нумерованное множество ( – операция – замыкания ([ для Э ( ). Более общо, если = ( , ) – нумерованное множество, Э ( , то – это нумерованное множество ( ); отображение является, очевидно, морфизмом из в .

Предложение 1. Категория

эквивалентна своей полной подкатегории , определенной семейством объектов { O} .

По определению эквивалентности категорий

и означает, что существует два ковариантных функтора и таких, что функторы и эквивалентны тождественным функторам и соответственно. В качестве функтора F возьмем функтор вложения категории как подкатегории . Функтор определим так: ; если = ( , ) , то , для простоты вместо будем просто писать , где – нумерационная эквивалентность нумерации . Существует естественный морфизм , определенный так: для . Легко проверить, что это определение корректно и что – морфизм. На самом деле является эквивалентностью категории , т.е. существует такой морфизм , что = , а = . Действительно, отображение определим так: . Ясно, что – морфизм, обладающий нужными свойствами. Продолжим определение функтора . Пусть = ( , = ( , ) и такова, что ; определяем так: для . Это определение корректно, так как если , то , , т.е. . Ясно также, что – морфизм из в . Так определенное отображение является функтором. Для проверки того, что функтор эквивалентен тождественному функтору, нужно построить единственное преобразование такое, что все морфизмы являются эквивалентностями категории . В качестве таких нужно взять построенные выше морфизмы .