(без
) коммутативна; – каноническое представление, – факторизация, – мономорфизм. Тогда существует морфизм такой, что – эквивалентность категории и диаграмма, приведенная выше, коммутативна.Из равенства
и мономорфности следует, что , тогда существование морфизма и морфизма таких, что диаграммыкоммутативны, вытекает из того, что
и – факторизации. Из единственности таких морфизмов вытекает, что , . Таким образом, – эквивалентность категории . Для проверки коммутативности большой диаграммы достаточно показать только, что . Обозначая , получим . Но так как – факторизация, то может существовать только один морфизм такой, что ; поэтому .Предложение 2 и показывает нужную «единственность» канонического представления. Впредь под каноническим представлением морфизма
будем понимать всякое представление его в виде , где – факторизация, а – мономорфизм.Для того чтобы понять, что факторизация может быть определена в чисто теоретико – категорных терминах (для этого достаточно такое определение для
), определим объект 1 категории как множество {0}, снабженное единственно возможной нумерацией. Укажем следующие простые свойства:1. Для любого нумерованного множества
= ( , ) существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством Mor ( ).Это соответствие задается отображением
множества Mor ( ) в .2. Если
, а Mor ( , то .Легко проверяется.
3. Если
, , то .Если
и – нумерованные множества и существует эквивалентность , то и назовем эквивалентными и будем обозначать это так . Отметим, например, что все одноэлементные нумерованные множества эквивалентны .Если
, – два морфизма, то назовем ( и ( ) эквивалентными над (менее точно назовем и эквивалентными над ), если существует эквивалентность такая, что диаграмма