Смекни!
smekni.com

Теория нумераций (стр. 14 из 22)

(без

) коммутативна;
– каноническое представление,
– факторизация,
– мономорфизм. Тогда существует морфизм
такой, что
– эквивалентность категории
и диаграмма, приведенная выше, коммутативна.

Из равенства

и мономорфности
следует, что
, тогда существование морфизма
и морфизма
таких, что диаграммы


коммутативны, вытекает из того, что

и
– факторизации. Из единственности таких морфизмов вытекает, что
,
. Таким образом,
– эквивалентность категории
. Для проверки коммутативности большой диаграммы достаточно показать только, что
. Обозначая
, получим
. Но так как
– факторизация, то может существовать только один морфизм
такой, что
; поэтому
.

Предложение 2 и показывает нужную «единственность» канонического представления. Впредь под каноническим представлением морфизма

будем понимать всякое представление его в виде
, где
– факторизация, а
– мономорфизм.

Для того чтобы понять, что факторизация может быть определена в чисто теоретико – категорных терминах (для этого достаточно такое определение для

), определим объект 1 категории
как множество {0}, снабженное единственно возможной нумерацией. Укажем следующие простые свойства:

1. Для любого нумерованного множества

= (
,
) существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством
и множеством Mor (
).

Это соответствие задается отображением

множества Mor (
) в
.

2. Если

, а
Mor (
, то
.

Легко проверяется.

3. Если

,
, то
.

Если

и
– нумерованные множества и существует эквивалентность
, то
и
назовем эквивалентными и будем обозначать это так
. Отметим, например, что все одноэлементные нумерованные множества эквивалентны
.

Если

,
– два морфизма, то назовем (
и (
) эквивалентными над
(менее точно назовем
и
эквивалентными над
), если существует эквивалентность
такая, что диаграмма