
(без

) коммутативна;

– каноническое представление,

– факторизация,

– мономорфизм. Тогда существует морфизм

такой, что

– эквивалентность категории

и диаграмма, приведенная выше, коммутативна.
Из равенства

и мономорфности

следует, что

, тогда существование морфизма

и морфизма

таких, что диаграммы

коммутативны, вытекает из того, что

и

– факторизации. Из единственности таких морфизмов вытекает, что

,

. Таким образом,

– эквивалентность категории

. Для проверки коммутативности большой диаграммы достаточно показать только, что

. Обозначая

, получим

. Но так как

– факторизация, то может существовать только один морфизм

такой, что

; поэтому

.
Предложение 2 и показывает нужную «единственность» канонического представления. Впредь под каноническим представлением морфизма

будем понимать всякое представление его в виде

, где

– факторизация, а

– мономорфизм.
Для того чтобы понять, что факторизация может быть определена в чисто теоретико – категорных терминах (для этого достаточно такое определение для

), определим объект
1 категории

как множество {0}, снабженное единственно возможной нумерацией. Укажем следующие простые свойства:
1. Для любого нумерованного множества

= (

,

) существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством

и множеством Mor (

).
Это соответствие задается отображением

множества Mor (

) в

.
2. Если

, а

Mor (

, то

.
Легко проверяется.
3. Если

,

, то

.
Если

и

– нумерованные множества и существует эквивалентность

, то

и

назовем
эквивалентными и будем обозначать это так

. Отметим, например, что все одноэлементные нумерованные множества эквивалентны

.
Если

,

– два морфизма, то назовем (

и (

)
эквивалентными над 
(менее точно назовем

и
эквивалентными над 
), если существует эквивалентность

такая, что диаграмма