Предложение 4. В категории
для любых двух объектов существует их прямое произведение.Если
О или О, то в качестве (с единственными морфизмами в ) можно взять О. Полагаем ; – проекция на первый сомножитель, – проекция на второй сомножитель. определяется так: , или . Легко проверяется, что – нумерация , а и – морфизмы ( , – в соответственно. Проверим, что ( ) есть прямое произведение . Пусть = ( , ) – произвольное нумерованное множество и , – два морфизма в соответственно. Определим отображение так: для . Для этого отображения имеем . Очевидно, что – единственное отображение , для которого справедливы указанные равенства. Остается заметить, что – морфизм . Пусть таковы, что . Тогда для , где , имеем . Итак, ( ) – прямое произведение □Лемма 1. Пусть
– произвольные нумерованные множества, отличные от О, ( ) – прямая сумма , ( ) – прямое произведение; тогда существуют такие морфизмы , , , , что , , , .Пусть
– произвольно выбранные элементы. Определим так: для всех ; определим так: для всех . Очевидно, что и – морфизмы. Положим далее и . Равенства и легко проверяются. Определим морфизмы и так:тогда, очевидно, имеем
и .□Наряду с прямым произведением и прямой суммой в категории
существует и расслоенная сумма.Перейдем к определению этого понятия. Коммутативная диаграмма
называется универсальным квадратом, если для любого объекта
и любой пары морфизмов , такой, что , существует единственный морфизм такой, что , . Если приведенная выше диаграмма является универсальным квадратом, то ( ) называется расслоенной суммой над .Предложение 5. В категории
каждая пара морфизмов , вкладывается в подходящий универсальный квадрат.