Смекни!
smekni.com

Теория нумераций (стр. 17 из 22)

Предложение 4. В категории

для любых двух объектов
существует их прямое произведение.

Если

О или
О, то в качестве
(с единственными морфизмами в
) можно взять О. Полагаем
;
– проекция на первый сомножитель,
– проекция на второй сомножитель.
определяется так:
, или
. Легко проверяется, что
– нумерация
, а
и
– морфизмы
(
,
– в
соответственно. Проверим, что (
) есть прямое произведение
. Пусть
= (
,
) – произвольное нумерованное множество и
,
– два морфизма
в
соответственно. Определим отображение
так:
для
. Для этого отображения имеем
. Очевидно, что
– единственное отображение
, для которого справедливы указанные равенства. Остается заметить, что
– морфизм
. Пусть
таковы, что
. Тогда для
, где
, имеем
. Итак, (
) – прямое произведение

Лемма 1. Пусть

– произвольные нумерованные множества, отличные от О, (
) – прямая сумма
, (
) – прямое произведение; тогда существуют такие морфизмы
,
,
,
, что
,
,
,
.

Пусть

– произвольно выбранные элементы. Определим
так:
для всех
; определим
так:
для всех
. Очевидно, что
и
– морфизмы. Положим далее
и
. Равенства
и
легко проверяются. Определим морфизмы
и
так:

тогда, очевидно, имеем

и
.□

Наряду с прямым произведением и прямой суммой в категории

существует и расслоенная сумма.

Перейдем к определению этого понятия. Коммутативная диаграмма

называется универсальным квадратом, если для любого объекта

и любой пары морфизмов
,
такой, что
, существует единственный морфизм
такой, что
,
. Если приведенная выше диаграмма является универсальным квадратом, то (
) называется расслоенной суммой
над
.

Предложение 5. В категории

каждая пара морфизмов
,
вкладывается в подходящий универсальный квадрат.