Теория нумераций (стр. 18 из 22)

Если

О, то в качестве нужно просто взять прямую сумму . Далее рассматриваем случаи, когда О. Заметим, что тогда и О и О.

Случай 1. Оба морфизма

являются факторизациями. Полагаем , – отношение эквивалентности на множестве . Благодаря свойствам факторизаций существуют и притом единственные морфизмы и такие, что диаграмма

коммутативна. Проверим, что эта диаграмма (без

) является универсальным квадратом. Пусть и – такие морфизмы, что ; если , то ясно, что и . Следовательно, и . Поэтому существует единственный морфизм такой, что . Легко проверяется, что тогда , .

Случай 2. Морфизм

является факторизацией, а – мономорфизмом. На множестве определим отношение эквивалентности так: для тогда и только тогда, когда или когда и . Рассмотрим диаграмму

где

. Из определения видно, что . Тогда из того, что – факторизация, следует существование единственного морфизма такого, что . Из того, что , следует, что – мономорфизм. Проверка того, что внешний квадрат диаграммы является универсальным квадратом, аналогична случаю 1.

Случай 3. Морфизмы

и являются мономорфизмами. С точностью до эквивалентности можно считать, что и морфизмы и являются просто вложениями соответственно. Положим . Из определения видно, что отображения вложения являются морфизмами из в .

Проверим, что диаграмма

является универсальным квадратом. Пусть

– произвольное нумерованное множество, а : и : – такие морфизмы, что . Последнее означает в нашем случае, что ограничения и совпадают. Следовательно, существует (единственное) отображение , ограничениями которого на и являются соответственно и . Проверим, что есть морфизм из в . Действительно, пусть таковы, что . Функцию определим так: