Теория нумераций (стр. 19 из 22)

Ясно, что

. Проверим, что . Действительно, . То, что и , следует из определения .

Общий случай. Пусть

и – произвольные морфизмы. Построим следующую диаграмму (используя канонические представления морфизмов и ):

так, чтобы она была коммутативной, а каждый из квадратов

, , , был универсальным. Возможность последовательного построения таких квадратов в порядке номеров вытекает из рассмотрения случаев 1, 2 и 3 соответственно.

Рутинная проверка того, что если – универсальные квадраты, то и внешний квадрат является универсальным, оставляется недоверчивому читателю.

Доказанное предложение означает, что для любой пары объектов над

существует их расслоенная сумма.

Существуют двойственные понятия расслоенного произведения и коуниверсального квадрата. К сожалению,

не замкнута относительно расслоенного производителя.

Укажем еще один положительный результат о замкнутости

. Пусть – произвольное направленное предупорядоченное множество, а – прямой спектр факторизаций в , т.е. для – нумерованное множество, для – факторизация; для для .

Предложение 6. Существует предел прямого спектра факторизаций, т.е. такой объект

и система морфизмов, , , что для любых ; для любого и системы морфизмов , , такой, что для всех , существует и притом единственный морфизм такой, что для всех .

Укажем только построение нумерованного множества

и морфизмов , . Зафиксируем некоторое и пусть ; для любого такого, что , через обозначим отношение эквивалентности на множестве . Семейство отношений эквивалентности { } направленно. Пусть ; – отношение эквивалентности на . Полагаем для определяется единственным образом как морфизм из в такой, что . Если , то находим такое, что и ; полагаем .