Теория нумераций (стр. 20 из 22)
Инъективным объектом категории называется объект
такой, что для любых двух морфизмов 
, 
, где 
– произвольные объекты, а 
– мономорфизм, существует морфизм 
такой, что 
. 
Инъективные объекты играют важную роль в построениях гомологической алгебры. В естественных алгебраических категориях инъективными объектами оказываются алгебры, важность которых была обнаружена до введения самого понятия категории и инъективного объекта. Например, полные абелевы группы, алгебраически замкнутые поля, вещественно замкнутые поля являются в точности инъективными объектами в подходящих естественных категориях.
Предложение 7. В категории
не существует нетривиальных инъективных объектов.Нумерованное множество
, где 
– одноэлементное множество, очевидно, является инъективным объектом. Нетривиальность означает, что нумерованное множество содержит, по крайней мере, два элемента. Предположим противное. Пусть 
– инъективный объект в и 
. Пусть 
таково, что 
не m – сводится к 
, 
, где 
и 
определены так: 
Тождественное отображение
будет морфизмом из 
в 
. Действительно, пусть 
, тогда функция 
такова, что
и 
.Итак,
– морфизм. Кроме того, – мономорфизм (а также и эпиморфизм). Определим отображение 
так: 
. Как и выше, легко показать, что 
– морфизм из в . Так как – инъективный объект, то существует морфизм 
такой, что 
, но так как 
, то 
. Следовательно, отображение 
является морфизмом 
в , т.е. существует функция 
такая, что 
Для этой функции имеем: если
, то 
и 
, следовательно, 
и 
; если 
, то 
и 
и 
, 
. Следовательно, 
Функция
– сводит 
к 
, что противоречит выбору 
. Получаем противоречие.Не намного лучше дело обстоит и с двойственным понятием проективного объекта. Объект
категории называется проективным, если для любых двух объектов 
и 
и любого эпиморфизма 
и любого морфизма 
существует морфизм 
такой, что 
.Предложение 8. Нумерованное множество
является проективным в категории тогда и только тогда, когда конечно, 
– разрешимая нумерация 
.Действительно, пусть
, а 
– разрешимая нумерация ; 
); тогда 
, – рекурсивные множества. Пусть 
и – произвольные нумерованные множества, – эпиморфизм, а – произвольный морфизм. Из того, что 
, и существования морфизма 
следует, что 
. Тогда и 
. Пусть 
; пусть 
. Существование элементов 
следует из тог, что 
– отображение на 
. Пусть 
– отображение из в 
, определенное так: 
. Покажем, что – морфизм. Пусть 
таковы, что 
. Определим функцию 
так: