Смекни!
smekni.com

Теория нумераций (стр. 22 из 22)

взаимно однозначно.

Пусть

– произвольное нумерованное множество. Определим на
отношение эквивалентности
так:

для любого
– вполне перечислимого подмножества
имеет место
.

Полагаем

– факторизация
по отношению
. Из определения легко видеть, что
отделимо. Через
обозначим морфизм факторизации
. Докажем теперь, что
– «наибольший» отделимый фактор – объект
, т.е. докажем, что для любого отделимого нумерованного множества
и любого морфизма
существует (и притом единственный) морфизм
такой, что диаграмма

коммутативна.

Рассмотрим каноническое представление морфизма

:

где

– факторизация, а
– мономорфизм. Так как (
– подобъект
, а
отделимо, то и
отделимо. Тогда из определения отношения
легко следует, что
, но тогда существует отображение
такое, что
. Так как
и
– факторизации, то
и
– морфизмы. Этот (очевидно, единственный) морфизм
и удовлетворяет соотношению
. Итак, доказано свойство: отображение
взаимно однозначно для отделимого
. Доопределим теперь функтор
. Он уже определен на объектах. Пусть
– морфизм. Рассмотрим диаграмму

Так как

есть морфизм из
в отделимое нумерованное множество
, то по доказанному выше свойству существует и притом единственный морфизм
, который делает диаграмму коммутативной. Полагаем
. Из определения сразу видно, что
– функтор, а
– естественное преобразование
в
.

В другой терминологии предложение 9 означает, что функтор вложения

имеет левый сопряженный, а именно – функтор
).

Список литературы

1. Ершов Ю.Л. «Теория нумераций», Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1997 г., 416 с.