Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана (стр. 4 из 4)

якщо ввести нову функцію u(x, t) поклавши

(7.7)

то рівняння (7.7) більш просту форму

, (7.8)

де a = , b = .

За допомогою заміни змінних

x = (x + at), h = (x - at)

приведемо рівняння (7.8) до канонічного вигляду

при цьому маємо a = b = 0.

Функція Рімана повинна задовільнювати спряженому рівнянню

, (7.9)

та на характеристиках x = x₁, h = h₁ дорівнює одиниці.

Будемо шукати розв’язок рівняння (7.9) у вигляді

.

Підставивши цей вираз та пізначивши через l корінь

, знайдемо, що функція v задовільнює звичайному диференційному рівнянню

G’’(l) + G’(l)+G(l)=0,

Лінійно незалежними розв’язками якого є функція Бесселя нульового порядку

та функція Неймана N₀(l), основною властивістю якої є

, слід, вона не може бути шуканою функцією.

Тобто, якщо взяти

v = J₀(l)

отримаємо розв’язок рівняння (7.9), який обертається на характерис-тиках x = x₁, h = h₁ у одиницю, оскільки тут l = 0.

Таким чином, функція Рімана знайдена, вона має вигляд:

.

Висновок.

В даній роботі розглянуто задачу Гурса для телеграфного рівняння. Було доведено, що розв’язок цієї задачі існує та що він єдиний. Завдяки використанню метода Рімана ми отримали цей розв’язок у явному вигляді. На прикладах ми показали, що знаходження функції Рімана зводиться до розв’язання звичайних диференйійних рівнянь, таких як рівняння Бесселя або гіпергеометричного рівняння Гаусса.

Список використованої літератури:

1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. «Высшая школа». Москва. 1970 г.

2. Положий Г. Н. Уравнения математической физики. «Высшая школа». Москва. 1964 г.

3. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. «Наука». Москва. 1964 г.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. «Наука». Москва. 1977 г.