Следующий раздел второй категории результатов есть алгебраическая геометрия периода, который я бы назвал периодом Вейля–Зариского, примерно 1945–1955 гг. Главной проблемой здесь было построить заново алгебраическую геометрию над произвольными полями (в частности, полями ненулевой характеристики) не просто из стремления к большей общности, но потому, что это сделалось настоятельно необходимым для лучшего понимания диофантова анализа. Прежде всего надо было найти замену глубокой геометрической интуиции прежних поколений, в особенности блестящей итальянской школы, предназначенную для предстоящей работы в этой далеко расширенной области и основанную на менее шатком фундаменте. Прежние попытки (например, ван дер Вардена) не совсем достигали этой цели, причём главное препятствие заключалось в теории пересечений, которая, наконец, была построена А. Вейлем в его трудных «Основаниях алгебраической геометрии». Одновременно в другом направлении Зариский настойчиво разрабатывал новые алгебраические и топологические концепции, которые, как теперь видно, послужили основой для ещё более прекрасного будущего. Здесь опять я не могу входить в подробности непосредственных последствий работы Вейля и Зариского (в их собственных статьях и статьях их продолжателей: Розенлихта, Мацусаки, Ленга, Нагаты, Чжоу, Игусы, Нерона и др.). Наиболее выдающимся достижением было, конечно, знаменитое доказательство А. Вейля в 1948 г. так называемой «гипотезы Римана для кривых над конечным полем». Другим большим завоеванием новой алгебраической геометрии было создание теории алгебраических групп, практически отсутствовавшей до 1945 г., которая достигла полной зрелости менее чем за 15 лет. Это, по существу, работа трёх математиков; А. Вейля, который сам создал общую теорию абелевых многообразий над полями произвольной характеристики, А. Бореля и К. Шевалле, которые сделали то же самое для линейных алгебраических групп, доведя их теорию до такого же высокого уровня совершенства, какой был достигнут Э. Картаном и Г. Вейлем за тридцать лет до того в теории полупростых групп Ли над вещественным или комплексным полем. Здесь, к сожалению, я могу лишь вскользь упомянуть близко примыкающую замечательную работу К. Шевалле 1955 г., которая впервые и притом самым неожиданным образом перебросила мост между теорией Ли и теорией конечных простых групп, открыв тем самым быстро увеличивающуюся новую область, где уже получено много прекрасных результатов и несомненно, гораздо больше ещё впереди.
В этом месте, чтобы оставаться верным своей программе, я должен был бы рассказать о развитии «аналитической» и дифференциальной геометрии между 1945 и 1953 гг., поскольку они также служат естественным продолжением более ранних работ Ока и А. Картана, с одной стороны, Э. Картана, Уитни, Чженя, Понтрягина и т.д. — с другой. Но это было бы в высшей степени искусственно, так как здесь нет такого резкого различия, как между двумя периодами алгебраической геометрии, и гораздо лучше отнести эти работы к третьему разделу моего доклада, к которому я теперь перехожу.
Конечно, слишком рано делать окончательные выводы в этом вопросе, но я с готовностью решился бы предсказать, что основной факт относительно нашего времени, который подчеркнут будущие историки математики, заключается в необычайном возвышении вместе с прилегающими областями того, что прежде называлось алгебраической топологией. Чтобы оценить размеры этого преобразования, достаточно вспомнить, что из двух теорий, представленных наиболее активными разделами в каждом нынешнем номере «Mathematical Reviews», а именно гомологической алгебры и дифференциальной топологии — первой двадцать лет назад не было вовсе, а другая практически ограничивалась теоремами де Рама и Ходжа. Теперь же чуть ли не каждый год приносит решение какой-нибудь знаменитой старой проблемы, казавшейся фатально недостижимой: опровергнута основная гипотеза комбинаторной топологии (Мазур–Милнор); гипотеза Пуанкаре — теперь теорема, исключая размерности 3 и 4 (Смэйл–Столлингс); мы знаем, что сферы могут обладать несколькими гладкими структурами, а во многих случаях мы даже умеем вычислить их количество (Милнор–Смэйл), и в то же время существуют, напротив, топологические многообразия совсем без гладких структур (Кервэр); в настоящее время полностью определено число линейно независимых векторных полей на сфере (Дж. Адамс); найдены параллелизуемые сферы и сферы, допускающие комплексную структуру; всё более тонкие критерии появляются в проблемах вложения и заузливания многообразий, продолжения гомеоморфизмов и т.д. и т.д. Разумеется, следует подчеркнуть, что эти результаты опираются прежде всего на фундаментальные концепции, развитые до 1945 г., такие, как расслоённые пространства, гомотопические группы, характеристические классы, работы Уитни по гладким многообразиям и теория Морса вариационного исчисления в целом. Как уже отмечалось, многое из последних достижений опирается на всё более успешное и глубокое использование этих средств, яркие примеры чему — знаменитая работа Тома о внутренних гомологиях, замечательные применения Боттом и Смэйлом теории Морса и совсем недавняя работа Милнора о микропучках. Это то геометрическое направление в топологии, о котором я упоминал выше; ему предшествовали результаты в трёхмерной топологии таких математиков, как Мойз, Бинг и Папакирьякопулос, а за ним последовало аналогичное обновление и комбинаторной топологии, в частности в работах Дж. Г. С. Уайтхеда (пионера в этой области), Мазура, Столлингса, Мортона Брауна и Зеемана. Несколько раньше, около 1950 г., алгебраические аспекты топологии были также обогащены введением целого арсенала таких новых средств, как приведённые степени Стинрода, операторы Бокштейна, системы Постникова, пространства Эйленберга–Маклейна, пространства петель, произведения Уайтхеда, если назвать лишь некоторые.
И всё же это только одна половина истории, и несмотря на её замечательные успехи, на мой взгляд, не самая примечательная. Те новые методы и понятия, которые я сейчас упоминал, по своей природе являются топологическими и были придуманы для решения топологических проблем. Но в 1940 г. никак не ожидалось, что эти методы алгебраической топологии можно целиком пересадить в массу математических ситуаций в алгебре и анализе. Я имею в виду, конечно, гомологическую алгебру, находящуюся сейчас в процессе завоевания всей математики, наподобие линейной алгебры и теории групп полвека назад.
Общеизвестно, что гомологическая алгебра фактически возникла как разновидность прославленной линейной алгебры образованием таких понятий, как функторы Ext и Tor, измеряющих некоторым образом степень дурного поведения модулей над общими кольцами по сравнению с приличными векторными пространствами линейной алгебры, а аналогия с группами гомологии, показывающими, насколько комплекс уклоняется от ацикличности, тоже теперь общее место.
Однако потребовалось время, чтобы понять эту аналогию и выразить её в математических терминах, это произошло лишь после открытия в начале сороковых годов точной когомологической последовательности (несколькими топологами, работавшими независимо), введения резольвент Г. Хопфом, определения функтора Ext Эйленбергом и Маклейном в 1942 г., функтора Tor А. Картаном в 1948 г., пока, наконец, А. Картан и Эйленберг не соединили эти разрозненные результаты в общую теорию и не осмелились написать первую монографию в 1955 г. Мерой успеха и жизненности этой теории служит то обстоятельство, что книгу уже следовало бы написать заново, чтобы учесть множество новых средств, предложенных с тех пор, особенно совсем недавние группы и кольца Гротендика. Кроме того, теперь следовало бы иметь дело с общей концепцией абелевой категории, для которой категория модулей — лишь частный случай.
Однако, вероятно, воздействие этих новых идей на другие разделы математики было бы менее эффективно, если бы одновременное введение пучков Ж. Лерэ не расширило чрезвычайно сферу их действия, дав впервые работающий формализм для интуитивного понятия «вариации» структур. Сам Лерэ имел в виду главным образом приложения к топологии многообразий и в особенности расслоённых пространств, чтобы избавиться от громоздких триангуляций прежних методов; здесь можно напомнить, что, кроме того, он создал для той же цели понятие спектральной последовательности, одно из самых мощных средств гомологической алгебры. То, что он на верном пути, стало непосредственно очевидным из результатов, которые ему и А. Картану удалось получить в теории гомологии и за которыми в скором времени последовали прорыв Серра в теории гомотопических групп, диссертация Бореля о когомологиях групп Ли, а чуть позже глубокая работа Дж. Адамса о связях гомологий и гомотопий. За несколько лет необычайная гибкость и многосторонность этих новых средств так же революционизировали и другие области. Первой явилась «аналитическая геометрия, где А. Картан и Серр, работая в тесном сотрудничестве, вскоре за ними Кодаира и Спенсер, Хирцебрух, Грауэрт и Реммерт нашли в понятии когерентного пучка удивительно хорошо подогнанный способ выражения результатов Ока–Картана в простой и мощной формулировке, что быстро привело к решению некоторых ключевых проблем этой быстро развивающейся области математики, таких, как гипотеза Э. Леви, касающаяся характеристики областей гомоморфности, и проблема вложения для аналитических многообразий, если назвать только два вопроса, остававшихся без ответа долгое время. Упомянутые результаты уже привели к волнующим следствиям в классической алгебраической геометрии, таким, как когомологическая характеристика алгебраических многообразий (теорема Кодаира) и ныне знаменитое обобщение теоремы Римана–Роха, сделанное Хирцебрухом. Далее в своей знаменитой статье «Когерентные алгебраические пучки» Серр открыл, что те же самые методы, которые работали столь успешно в аналитическом случае, можно применить аналогичным образом в более алгебраической и «абстрактной» ситуации, а именно к алгебраической геометрии над произвольным полем, если воспользоваться топологией Зариского для перенесения всей геометрической техники «кольцованных пространств» на алгебраические многообразия в смысле А. Вейля. Как известно, А. Гротендик с большой энергией развил эту идею, открыв новую эру в алгебраической геометрии с таким обилием новых концепций, методов и проблем, что несколько поколений математиков вполне могут найти дело своей жизни в разработке увлекательных возможностей этой обширной и далеко ещё не разведанной территории. Всего за несколько лет этот новый подход уже принёс такие существенные результаты, как доказательство Серром гипотезы Севери, гротендиковское обобщение формулы Римана–Роха–Хирцебруха, работа Хиронаки о разрешении особенностей (над полем нулевой характеристики), решение Мамфорда проблемы «модулей» для алгебраических кривых над произвольным полем и совсем недавний решающий сдвиг в гипотезах Вейля, сделанный Гротендиком и М. Артином. Следует подчеркнуть, что многое из этого стало возможно благодаря другому прорыву, где опять-таки Серр явился выдающимся новатором: применению гомологической алгебры (и, в частности, введению понятия «плоскости») в теории локальных колец, увенчивающему двадцатилетние продвижения в этой области Крулля, Шевалле, Зариского, Самюэля, Нагаты, И. Коэна, М. Аусландера–Буксбаума и открывшему доступ её мощных результатов к теории Гротендика.