Имеются и другие важные применения гомологической алгебры, например формулировка Тэйта теории классов полей в когомологических терминах, немедленно последовавшая за пионерскими работами Хохшильда, Накаямы и А. Вейля в этом направлении и положившая начало многообещающей теории когомологий Галуа в руках самого Тейта и Ленга, Серра, А. Бореля, М. Кнезера, М. Лазара, если назвать лишь некоторых. В совсем другом направлении большой новинкой последних лет в теории линейных уравнений с частными производными были успех Мальгранжа, придавшего весьма адекватную и полезную формулировку некоторым ключевым результатам в терминах функторов Ext [См. также работы В. П. Паламодова. — Прим. перев.], и применения групп Гротендика к эллиптическим уравнениям (Атья и Зингер [Перевод работы Атья–Зингера «Индекс эллиптических операторов» см. в сб. переводов «Математика» (М., Мир, 1966), № 3, с.29–38. — Прим. перев.]). Весь опыт последнего десятилетия заставляет предполагать, что следует ожидать важных последствий их идей и что мы можем с уверенностью предвидеть другие завоевания гомологической алгебры областей математики, ещё не затронутых ею.
Я бы хотел закончить некоторыми общими замечаниями. Во-первых, и я это хотел бы особенно подчеркнуть, несмотря на потрясающе бурный и несколько загадочно разнообразный непредсказуемый рост за последнее двадцатилетие, математика ныне как никогда едина. Конечно, поразительные примеры глубокого родства различных частей математики были известны в классические времена, начиная от приложения ряда Дирихле к теории чисел и кончая введением Риманом топологии в теорию функций. Но теперь мы достигли положения, где практически невозможно приклеить к большой части современной математической литературы какой-нибудь из старых ярлыков «алгебры», «анализа» или «геометрии». Алгебраическая и «аналитическая» геометрии уже ведут себя как близнецы: всякому продвижению в одной области почти неизменно в течение короткого времени отвечает соответствующий результат в другой; с другой стороны, почти завершилось слияние коммутативной алгебры и алгебраической геометрии и, конечно, потребуется немного времени, чтобы теория алгебраических чисел подчинилась общей линии. Некоторые из наиболее замечательных теорем возникли из последовательного сопоставления двух на вид не связанных теорий: переводя «Риманову гипотезу» для кривых на чисто геометрический язык и поняв, что нужен аналог топологической формулы Лефшеца для неподвижной точки, А. Вейль в конце концов построил на этом пути своё знаменитое доказательство, а это привело его к формулировке гипотез, от доказательства которых мы надеемся, наконец, получить общие методы для наступления на диофантов анализ. Ещё более разительна история теоремы «Римана–Роха–Хирцебруха–Гротендика». Около 1950 г. Кодаира понял, что теорему Римана–Роха для классических алгебраических многообразий размерности 2 и 3 можно сформулировать как равенство между топологическими инвариантами многообразия вместо неравенства, как у Зариского и итальянских геометров; однако ему ещё не доставало аппарата, чтобы распространить эти результаты на случай больших размерностей. Несколько позже он понял, что требуемые топологические инварианты связаны со свойствами векторных расслоений над комплексными многообразиями (классы Чженя и классы Понтрягина). Как только Картан и Серр начали использовать в теории комплексных многообразий когерентные пучки, Кодаира увидел в этом одно из существенных для него средств и за несколько месяцев (частично в сотрудничестве со Спенсером и независимо от Картана и Серра) получил далеко ведущие результаты в своей теории, используя, в частности, некоторые результаты теории эллиптических уравнений с частными производными. В 1952 г. этой проблемой заинтересовался Хирцебрух; с помощью искусных алгебраических приёмов он связал классы Чженя векторных расслоений над алгебраическими многообразиями с более ранними инвариантами, введёнными в алгебраическую геометрию Егером и Тоддом, а чуть позже Серру удалось предугадать формулировку теоремы Римана–Роха. Но доказательство ещё не давалось и было найдено лишь в 1954 г. Хирцебрухом на основе ещё одного ряда идей, на этот раз теории внутренних гомологии Тома, которая только что появилась, предоставив нужную информацию о классах Понтрягина для заполнения пробела. Столь устрашающее переплетение идей казалось не слишком удовлетворительным, и сам Хирцебрух сознавал, что, вероятно, можно найти более простое и приятное доказательство. Это было сделано Гротендиком в 1957 г., который сохранил существенные алгебраические и гомологические идеи своих предшественников, но сумел избавиться от всей техники, проистекающей из теории гармонических форм и дифференциальной топологии, что позволило ему не только распространить формулу на абстрактную алгебраическую геометрию, но и показать, что она является частным случаем ещё более простой и общей формулы. Однако для этого ему понадобилось, в частности, изобрести новые средства гомологической алгебры, то, что сейчас называется группами и кольцами Гротендика и чьи скрытые возможности тотчас же привлекли внимание. Первый шаг в этом направлении был сделан Хирцебрухом и Атья, добавивших в необычное сочетание ещё и теорему Ботта о периодичности гомотопических групп простых групп Ли; это же снабдило Адамса нужными средствами для его решения проблемы векторных полей на сфере. Ещё более удивительно, как Атья использовал эти концепции в теории представлений конечных групп, а в настоящее время Г. Басс с успехом разрабатывает применение аналогичных методов к проективным модулям и линейным группам над дедекиндовыми кольцами. Вот где мы сегодня находимся, но, конечно, пока ещё очень далеко до конца этой истории. Надеюсь, сказанного достаточно, чтобы понять, насколько сложно и плодотворно теперь взаимодействие математических идей, идущих буквально со всех сторон.
Иногда (даже среди молодёжи) выражают опасения, что мощные тенденции к полному срастанию различных ветвей математики могут в конце концов привести к самопоражению вследствие явной неспособности разума добиться одновременно надёжного и полного охвата столь многих разных идей и теорий. К счастью, можно заметить, что, как это уже случалось в аналогичные времена «бури и натиска» истории нашей науки, пугающее разнообразие новых концепций, естественно, порождает ответную реакцию к упрощению этого хаоса. Сейчас представляется, что спасение заложено в новых концепциях категорий и функторов, которые в начале сороковых годов были введены Эйленбергом и Маклейном. Эти понятия уже доказали свою многосторонность и гибкость в работах таких математиков, как Эккман, Хилтон, Кан и Гротендик, и теперь много молодёжи включилось в эту работу концентрации и упрощения, которая на новом уровне повторяет историю алгебры и топологии сорокалетней давности. Конечно, как всегда, приходится платить за это большей «абстрактностью». Однако, как теперь уже твёрдо установлено, то, что крайне абстрактно для одного поколения математиков, тривиально для следующего, и гневные крики, ещё слышные по временам, обычно исходят от пожилых людей, явно опасающихся не поспеть за молодёжью. Однако ныне более нетерпимы к этому проявлению человеческой слабости, чем, скажем, тридцать лет назад, и традиционные шутки насчёт «жёсткой» и «мягкой» математики уже начали приедаться. Конечно, очень легко из кучи аксиоматического хлама, ежегодно извергаемого горе-математиками на несчастную публику, выбрать какую-нибудь особенно бессмысленную работу и выставлять её как типичный продукт современной математики. Судите сами, насколько совместимо такое позёрство хотя бы с минимумом интеллектуальной честности и не пристойнее ли было бы сдержаться и постараться раздобыть информацию поточнее.
Напоследок я хотел бы подчеркнуть, сколь мало новейшая история оправдывает благочестивые пошлости прорицателей краха, регулярно предупреждающих нас о гибельных последствиях, которые математика неминуемо навлечёт на себя, если откажется от применений к другим наукам. Я не собираюсь утверждать, что тесный контакт с иными областями, такими, как теоретическая физика, не выгоден для обеих сторон. Однако совершенно ясно, что из всех поразительных достижений, о которых я рассказывал, ни одно, за возможным исключением теории распределений, ни в малейшей степени не пригодно для физических применений. Даже в теории уравнений с частными производными сейчас упор гораздо больше на «внутренние» и структурные проблемы, чем на вопросы, имеющие прямое физическое значение. Даже если бы математика насильно была отрезана от всех прочих каналов человеческой деятельности, в ней достало бы на столетия пищи для размышления над большими проблемами, которые мы должны ещё решить в нашей собственной науке.
На самом деле наше богатство столь велико, что даже беглое описание его нельзя вместить в рамки одного доклада, и я с прискорбием понимаю, сколь много ценных работ мне пришлось, скрепя сердце, оставить в стороне: среди них работы по комплексному умножению (А. Вейль, Шимура, Танияма), нелинейным дифференциальным уравнениям, бесконечным группам Ли (Чжень, Кураниши, Штернберг), римановым поверхностям (Тайхмюллер, Альфорс, Л. Берс), теории потенциала (Дэни, Бёрлинг, Хант, Шоке), гармоническому анализу (Кахан, Кацнельсон, Рудин, Хельсон, Маллявию и многие другие). Ничего я не смог сказать о математической логике и теории вероятностей, касаться которых мне запрещает моё невежество. Я надеюсь, что сумел дать хотя бы слабое представление о громадном прогрессе, совершившемся за последнее двадцатилетие; никакой другой сравнимый период нашей истории не был столь богат новыми идеями и результатами, и у нас есть все причины верить, что будущее ещё более подтвердит девиз Гильберта: «Мы должны знать — мы будем знать».