Исследование случайных явлений вероятностно-статистическими методами (стр. 3 из 5)
Задание № 6
Производится «n» независимых испытаний, в каждом из которых события А может появиться с вероятностью Р.
Требуется: 1)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях равно k - раз.
2)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях более m - раз.
3)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях не менее k1 - раз, но не более k2 - раз.
4)Вычислить среднее число появления события А при n – испытаниях и среднее квадратическое отклонение числа появлений события А.
5)Определить с какой вероятностью должно появляться события А в каждом из «n» - опытов при условии, что вероятность не появления события А ни в одном из «n» - опытов равна Р0.
(Указание. При поиске ответа только на пятый вопрос принять условие, что число появлений события А при n – независимых опытах распределено по закону Пуассона).
Решение
1) Применяем формулу Пуассона, т.к. n – велико, р – не мало.
Подставляем, получаем:
2)
3) Использую интегральную формулу Муавра-Лапласа, потому что
. 
4) Находим МОЖ по следующей формуле
. Ввиду больших вычислений расчёт значений произвёл в программном продукте MS Excel. 
Среднее квадратическое отклонение находим через дисперсию по формуле:
5) Так как число появлений события А при n – независимых опытах распределено по закону Пуассона, то:
Ответ: 1)
2)
3)
4)
5)
Задание № 7
Дискретная двумерная случайная величина (X, Y) описывается законом распределения вероятностей, заданного рядом распределения вероятностей, представленным в таблице:
 |
| X Y | X1 | X2 |
| Y1 | P11 | P12 |
| Y2 | P21 | P22 |
| Y3 | P31 | P32 |
Требуется:
1. Определить законы распределения компонент случайного вектора X и Y соответственно.
2. Определить условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y приняла значение yj.
3. Определить условный закон распределения случайной величины Y при условии, что X приняла значение xi.
4. Определить математические ожидания и дисперсии компонент случайного вектора X и Y.
Решение
| X Y | X1 | X2 | Px |
| Y1 | P11=0,11 | P12=0,14 | 0.25 |
| Y2 | P21=0,16 | P22=0,24 | 0.4 |
| Y3 | P31=0,19 | P32=0,16 | 0.35 |
| Py | 0.46 | 0.54 | 1 |
1) Законы распределения компонент случайного вектора X и Y вычисляются с помощью складывания вероятностей, находящихся на одной строке – для х, на одном столбце –
для у.
Как видно из таблицы, сумма вероятностей, как и по х, так и по у равна 1.
2) Условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y приняла значение y1 определяется как:
3) Условный закон распределения случайной величины Y при условии, что X приняла значение x1 определяется как:
4) Математическое ожидание компонент случайного вектора X и Y вычисляем по формуле:
Подставляем значения, получаем:
Дисперсия компонент случайного вектора X и Y находиться по формуле, и равна:
Ответ: 1) Законы распределения компонент случайного вектора X см. в таблице в левом столбце;
законы распределения компонент случайного вектора Y см. в таблице в нижней строке.
2)
3)
4)
Задание № 8
Случайная величина Y связана со случайными величинами xi (i= 1,…,3) функциональной зависимостью вида 
.
Известны математические ожидания случайных величин
и средние квадратические отклонения, 
Задана также нормированная корреляционная матрица: 
Требуется:
1. Вычислить математическое ожидание случайной величины Y.
2. Вычислить среднее квадратическое отклонение случайной величины Y.
3. В предположении нормального закона распределения случайных величин xi записать выражение для плотности распределения случайной величины Y.
Дано:
mx1=2.0, mx2=1.9, mx3=1.6;
=0.8, 
=2.1, 
=3.2;Найти:
1)M[Y]-?;
2)
-?;3)f(Y)-?.
Решение
1) В данной задаче применяется 3-й тип постановки задачи. т.к. по известным числовым характеристикам случайных аргументов необходимо найти численные характеристики функций случайных аргументов. Учитывая, что задана линейная функция 3-х случайных аргументов, то для решения задачи применил теорему о математическом ожидании дисперсии линейной функции.
2) Находим корреляционный момент через коэффициент корреляции. Он необходим для расчёта дисперсии, из которой можно будет получить среднее квадратическое отклонение.
3) В предположении нормального закона распределения случайных величин xi выражение для плотности распределения случайной величины Y имеет вид:
Ответ: 1)
;2)
3)
Задание №9
Пусть Х – время задержки момента начала матчей на данном стадионе. Известно среднее значение времени задержки, которое составляет «а» минут.
Требуется:
Оценить вероятность того, что начало матча будет задержано не менее, чем на t минут.
Найти минимальное значение времени задержки начала матча t0, при котором вероятность задержки на время не менее t0 не превышает требуемого значения Ртр, если дополнительно известно, что среднее квадратичное отклонение времени задержки начала матчей 
секунд.Решение
1) Для нахождения вероятности того, что начало матча будет задержано не менее, чем на 2,5 минуты необходимо применить 1-е неравенство П.Л.Чебышева ( А.А. Маркова).