Исследование случайных явлений вероятностно-статистическими методами (стр. 4 из 5)
т.е. 
2) Минимальное значение времени задержки начала матча t0, при котором вероятность задержки на время не менее t0 не превышает требуемого значения Ртр, если дополнительно известно, что среднее квадратичное отклонение времени задержки начала матчей
секунд вычисляется по второй теореме П.Л. Чебышева, т.к. она позволяет находить вероятность попадания случайной величины за пределы интервала от 
. 
, т.е. 
Ответ: 1) Вероятность того, что мат начало матча будет задержано не менее, чем на t минут составляет не более 44%, т.е. в 1 случае из 100 начало матча будет задержано не более чем на 2,5 минуты.
2) Минимальное значение времени задержки начала матча t0, при котором вероятность задержки на время не менее t0 не превышает требуемого значения Ртр=0,4, составляет 2,4703 минуты.
Задание № 10
По заданному в таблице Приложения 4 временному ряду U=¦(T) требуется:
-построить диаграмму рассеивания; найти параметры модели линейного тренда и построить его на диаграмме рассеивания; найти параметры квадратичного тренда и построить его на диаграмме рассеивания;
-вычислить значение коэффициента детерминации;
-проверить адекватность построенных моделей по критериям случайности колебаний уровней остаточной последовательности (критерием серий или критерием поворотных точек), критерием соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения (критерием ассиметрии и эксцесса или критерием стьюдентизированного размаха), критерием проверки равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, критерием проверки независимости значений уровней случайной компоненты (Дарбина-Уотсона);
-выполнить точечный прогноз значений зависимой переменной U по линейному и квадратичному тренду для Τ=8 и T=9;
-выполнить интервальный прогноз с использованием только линейного тренда;
-сформулировать выводы о качестве трендовых моделей.
Дано: Временной ряд:
| Время, t | Y |
| 1 | 6.2 |
| 2 | 4.8 |
| 3 | 7.5 |
| 4 | 9.9 |
| 5 | 14 |
| 6 | 19 |
| 7 | 22 |
Решение:
Проведём исследование модели временного ряда, которая содержит 3 стадии:
· стадия спецификации модели тренда;
· стадия идентификации модели тренда4
· стадия верификации модели тренда.
1. Проанализируем первую стадию, т.е. спецификацию модели тренда. Суть стадии заключается в том, что подбирается математическая модель, описывающая изменение процессов во времени. Этот процесс начинается с построения диаграммы рассеивания и заканчивается подбором уравнения: линейного, степенного, экспоненциального, полиноминального и прочих. Решается вопрос о линейности (нелинейности) модели тренда и параметров этой модели (коэффициентов).
С помощью пакета программ MS Excel, учитывая исходные данные построил диаграмму рассеивания:
После на диаграмме рассеивания строится линейный и квадратичный тренды, а так же определяются уравнения и значения коэффициента детерминации R2.
2. Стадия идентификации состоит в идентификации коэффициентов модели тренда по экспериментальным данным.
Для этого используем метод наименьших квадратов. Суть данного метода состоит в том. что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей прямой должна быть минимальной.
Уравнение прямой имеет вид:
При помощи метода наименьших квадратов найдём неизвестные коэффициенты тренда а0 и а1.
Для уравнения прямой:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Коэффициент детерминации R2 является одной из наиболее эффективных оценок регрессионной модели, мерой свойства уравнения регрессии, характеристикой практической силы регрессионной модели.
где 
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией. 
- общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной yi от среднего значения. 
- значение зависимой переменной, найденное по уравнению регрессии. 
Результаты расчёта
занесём в отдельную таблицу | Время, t |  |
| 1 | 3,096475 |
| 2 | 6,03575 |
| 3 | 8,975025 |
| 4 | 11,9143 |
| 5 | 14,853575 |
| 6 | 17,79285 |
| 7 | 20,732125 |
Величина коэффициента детерминации показывает, какая доля зависимой переменной у обусловлена независимой переменной t. Чем ближе R2 к 1, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные. В нашем случае R2 =1,08759≈1, следовательно, полученное уравнение регрессии можно считать вполне достоверным и эффективно оценивающем адекватность регрессионной модели.
Для уравнения параболы:
Уравнение квадратичного тренда имеет вид:
| Время, t | y |
| 1 | 0,3497 |
| 2 | 0,4193 |
| 3 | 0,4890 |
| 4 | 0,5586 |
| 5 | 0,6283 |
| 6 | 0,6980 |
| 7 | 0,7676 |
Ввиду того, что значения квадратичного тренда крайне малы, я построил его на отдельном графике.
3. Этап верификации модели тренда состоит в проверке адекватности модели реальным экспериментальным данным. На этой стадии производится:
- критерий Фишера для проверки гипотезы (Н0) о значимости коэффициента детерминации R2,
- критерий поворотных точек,
- критерий ассиметрии и эксцесса по Стьюденту.
1. Значимость коэффициента детерминации определяется критерием Фишера.
,Для линейного уравнения:
.Расчётное значение критерия Фишера сравнивается с табличным. При заданном уровне значимости гипотезы Н=0,05 и степенях свободы f1=n-1 (f1=6) и f2=n-m-1 (f2=5), где n – объём выборки, m – число включённых в модель факторов табличное значение равно 4б95. Сравнивая расчётное и полученное значение, получаем. что 57,0848>4,95, значит модель адекватна исходным данным.
2. Критерий поворотных точек. С помощью этого критерия можно проверить случайность остатков модели. В соответствии с этим критерием каждый уровень ряда сравнивается с двумя соединёнными с ними. Если он больше или меньше их. то эта точка считается поворотной. Затем подсчитывается сумма поворотных точек m. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:
,где N – объём выборочной совокупности.
Данное условие выполняется, следовательно, можно утверждать, что ряд остатков моделей не является случайным.
3. Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс означает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение.