Разделы физики, которые изучают явления, в которых нарушается принцип суперпозиции, обычно называют нелинейными. Например, нелинейная оптика. В дальнейшем ограничимся рассмотрением слабых полей (гравитационных и электромагнитных), к которым принцип суперпозиции применим.
. Поля центральных сил.
В этом разделе, мы рассмотрим так называемые поля центральных сил. Это поля , силы взаимодействия для которых зависят только от расстояния между взаимодействующими телами и направлены вдоль линии взаимодействия. Мы будем рассматривать квазистационарные поля, т.е. такие поля, которые либо не меняются со временем, либо меняются, но медленно по сравнению с рассматриваемыми явлениями. К рассматриваемым поля в первую очередь относятся гравитационные и электростатические поля.
Поведение гравитационных и электростатических полей похоже друг на друга. То объясняется тем, что в основе описания обеих полей лежат схожие законы: çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ Ньютона и закон Кулона. В векторном виде мы записывали их следующим образом:
Fтяг = ( -g) ( M m / r2) (r/r) (15.4)
Fкул = (1/4pe0 ) (Qq/r2) (r/r) (15.5)
Если не считать коэффициентов перед формулами (-g) и (1/4pe0) (которые могут иметь другой вид в других системах единиц), законы похожи. Сила тяготения Fтяг (сила притяжения между двумя телами) прямо пропорциональна массам M и m тел, обратно пропорциональна квадрату расстояния ìåæäó телами r и направлена вдоль линии, соединяющей тела (r/r). Кулоновская сила Fкул (сила взаимодействия между зарядами ) прямо пропорциональна зарядам Q и q, обратно пропорциональна квадрату расстояния ìåæäó зарядами r и направлена вдоль линии, соединяющей заряды (r/r).
В дальнейшем нам будет удобно остановится подробнее на одном виде взаимодействия ( электростатическом или гравитационном), подразумевая, что все наши выводы будут справедливы и для другого взаимодействия (поля).
В электродинамике при описании электрических полей используют другую форму записи закона Кулона. На называется теоремой Остроградского-Гаусса. Рассмотрим ее. Напряженность электрического поля точечного заряда Q на расстоянии r от него определяется из закона Кулона и равна:
E = F/q = (1/4pe0)(Q/r )(r/r) (15.6)
Найдем поток вектора напряженности электрического поля через поверхность, внутри которой находится заряд Q , - ФЕ. Окружим поверхность сферой радиусом R. Площадь сферы 4pR. Поток вектора напряженности через эту сферу численно равен количеству силовых линий, проходящих через нее. Силовые линии перпендикулярны поверхности сферы, cos(SE)=1 и, значит, их число равно произведению площади сферы на напряженность поля на поверхности сферы:
ФЕ = (4pR2 ) (1/4pe0 ) (Q/R2 ) = Q/ e0 (15.7)
Если вместо сферической, мы возьмем произвольную замкнутую поверхность, через нее будет проходить столько же силовых линий, сколько и через сферу. В силу принципа суперпозиции теорема применима и к произвольному числу зарядов внутри поверхности. Чтобы найти поток вектора напряженности при произвольном числе зарядов внутри поверхности, надо просуммировать заряды внутри ее. Другими словами: Поток вектора напряженности через произвольную поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на диэлектрическую проницаемость вакуума.
Теорема Остроградского-Гаусса имеет наглядный физический смысл. Она утверждает, что силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Если внутри рассматриваемой поверхности зарядов нет, то число входящих в нее силовых линий равно числу выходящих и суммарный поток вектора напряженности равен нулю.
Эта теорема используется в электростатике для решения многих задач. Рассмотрим, как с ее помощью определить напряженность электрического поля вблизи равномерно заряженной поверхности. Пусть у нас есть бесконечно большая равномерно заряженная плоскость. Если заряды положительны, то силовые линии выходят из плоскости и расположены перпендикулярно ей (см.рис.15.2).
Рис.15.2
Обозначим через s=q/s поверхностную плотность заряда, т.е. заряд, приходящийся на единицу площади. Выделим на плоскости окружность Ds и построим на ней как на основании два цилиндра по обе стороны поверхности. Высота цилиндров равна r. Боковые стенки цилиндров перпендикулярны поверхности и совпадают с линиями напряженности электрического поля. Значит поток вектора напряженности через них равен нулю. Применим теперь к цилиндру теорему Остроградского-Гаусса. Полный поток вектора напряженности электрического поля равен: ФЕ = Q/e0=sDs /e0 . С другой стороны, чтобы найти его, надо просуммировать потоки вектора напряженности через все стенки цилиндра. Черезбоковые стенки он равен нулю. Поток вектора напряженности через торцевые стенки равен: Е Ds = s Ds/e0 . Отсюда находим, что напряженность поля не зависит от расстояния до поверхности и равна : E = s/e0 .
Эту же задачу можно, в принципе, решить, используя формулу 15.6. Но, для решения задачи с ее помощью потребовалось бы применение раздела высшей математики, связанного с векторным анализом и поверхностными интегралами.
Электростатическое и гравитационное поле являются полями центральных сил, т.е. сил, величина которых зависит только от расстояния между взаимодействующими телами и направлены вдоль линии, соединяющей тела. Такие поля являются полями консервативных сил . Покажем это на примере гравитационного поля вблизи поверхности Земли. Силовые линии гравитационного поля вблизи поверхности Земли параллельны друг другу. Найдем работу, совершаемую при перемещении тела, массой m из точки 1 в точку 2 (см. рис. 15.3).
Рис.15.3
Расстояние между точками будем считать пренебрежимо малым по сравнению с расстоянием до центра земли. В этом случае сила тяготения одинакова во всех точках траектории ,равна весу тела Р и направлена вертикально вниз: F = P =mg = m (g M / R 2 ) e, где R радиус Земли, e -единичный вектор e= -r/r.
Направим ось координат OZ вдоль силовых линий гравитационного поля âåртикально вниз. По определению, работа, совершаемая при перемещении тела массой m из точки 1 в точку 2 , ( где точка 1 расположена на высоте H1 , а точка 2 на высоте H2 )равна:
A12 = F dr = F dr cos(Fdr) = F dZ = F(H1-H2)=P(H1-H2) (15.8).
Работа не зависит от траектории пути, а определяется начальным и конечным положением тела. Тем самым мы доказали, что рассматриваемые поля являются полями консервативных сил. Работа этих полей на замкнутой траектории равна нулю.
Для поля консервативных сил можно ввести потенциальную энергию. В каждой точке поля консервативных сил она равна работе, которую нужно затратить на перемещение тела из бесконечности в данную точку. В случае электрического поля перемещаемым телом является заряд. При описании электрических полей вместо потенциальной энергии точки чаще используют понятие потенциала в точке r : j(r) . Потенциал определяется как отношение потенциальной энергии (Eпот) заряда q в точке к величине самого заряда:
j(r) = Eпот(r) / q =Ar /q (15.9)
Из этого определения следует, что потенциал является скалярной функцией. Причем, у этой функции аргументом служит точка в пространстве, которая может задаваться вектором.
Свяжем между собой потенциалы и работу по перемещению заряда. Пусть мы перемещаем заряд q из точки 1 в точку 2 в электрическом поле. Работа по перемещению такого заряда равна разности потенциальных энергий поля в точках 1 и 2:
A 12= Eпот(2) - Eпот(1) = [j(2) - j(1)] q=U q (15.10)
Здесь разность потенциалов мы обозначили как U , которую обычно называют просто напряжением. С другой стороны, работа по определению равна :
A 12= Fdr=qEdr =q Edr=q[j(2)-j(1)] (15.11)
Òåì ñàìûì ìû ñâÿçàëè напряженность электрического поля с разностью потенциалов. Величину Edr называют циркуляцией вектора напряженности электрического поля на участке кривой 1-2. Если заряд перемещается по замкнутой кривой, т.е. вышел из точки 1 и вернулся в точку 1, то работа по его перемещению равна нулю. Электростатическое поле- поле консервативных сил. Но это означает, что циркуляция вектора напряженности электрического поля на замкнутой кривой равна нулю. Тем самым мы доказали еще одну важную теорему электростатики о циркуляции вектора напряженности электрического поля.
В качестве примера рассмотрим потенциал точечного заряда +Q на расстоянии r0 от него. Пусть пробный заряд +q двигается по прямой, проходяшей через заряд Q, из бесконечности в точку r0. Работу, затраченную на перемещение заряда можно определить по формуле 15.5 с учетом того, что заряд двигается вдоль силовой линии, т.е. скалярное произведение Fdr =Fdr: A r = Fdr = (1/4pe0) Qq (1/r) dr = (1/4pe0)Qq(1/r), откуда потенциал точечного заряда j(r) =1/4pe0Q /r.
При графическом описании электрических полей часто пользуются эквипотенциальными линиями или поверхностями, которые определяют поверхность с одинаковым потенциалом j. Для точечного заряда линии эквипотенциальной поверхности на плоскости - просто концентрические окружности, как это показано на рис.15.1. При движении заряда по эквипотенциальной поверхности работа не совершается, как это следует из формулы 15.11. Для того, чтобы работа при перемещении заряда в электрическом поле равнялась бы нулю, требуется, чтобы заряд двигался перпендикулярно силовым линиям электрического поля (тогда cos(Fdr)=0 и работа равна 0). Т.е. в общем случае линии эквипотенциальной поверхности перпендикулярны в каждой точке линиям напряженности электрического поля.