Нелинейные многоволновые взаимодействия в упругих системах (стр. 3 из 4)

Основное предложение настоящего пункта можно сформулировать следующим образом. Если в системе (4) нет резонансов, начиная с порядка

и до порядка

включительно, то следует ожидать, что нелинейность приведет лишь только к малым поправкам к решениям соответствующей линеаризованной системы. Эти поправки будут того же порядка,

, что и мера нелинейности, и вплоть до времен

Для получения формально пригодного преобразования (7) в резонансном случае, следует пересмотреть структуру системы сравнения (5) в сторону модификации ее правой части:

(8)

;

таким образом, чтобы нелинейные слагаемые

, где

- однородные полиномы

-го порядка, содержали бы только лишь резонансные члены. В этом случае уравнения (8) ассоциируются с так называемыми нормальными формами. В практических задачах, ряды

обычно укорачиваются до одного-двух слагаемых соответствующего порядка по

Уместны следующие замечания

Теория нормальных форм достаточно просто обобщается на случай так называемых существенно нелинейных систем, поскольку малый параметр

может быть опущен в выражениях (4) - (8) без всякого ущерба для конечного результата, при этом и оператор

может также зависеть от пространственной переменной

Формально, собственные значения оператора

могут быть произвольными комплексными числами. Это означает то, что резонансы порядка

могут быть определены и проклассифицированы даже и для неколебательных процессов, например применительно к эволюционным уравнениям.

Резонанс в многоволновых системах

Явление резонанса играет ключевую роль в динамике большинства физических систем. Интуитивно, резонанс ассоциируется с одним частным случаем силового возбуждения линейных колебательных систем. Такое возбуждение сопровождается с более или менее скорым ростом амплитуды колебаний при достаточной близости одной из собственных частот колебаний системы к частоте внешнего периодического возмущения. В свою очередь, в случае так называемого параметрического резонанса возникают некоторые рациональные соотношения между собственными частотами системы и частотой параметрического возмущения. Таким образом, резонанс можно проще всего классифицировать, согласно выше приведенному эскизу, по его порядку, начиная с первого,

, если включить в рассмотрение и линейные и нелинейные динамические системы. Поэтому, в общем случае, понятие резонанса в колебательных системах может быть связано с физическим явлением, которое характеризуется накоплением энергии одним или несколькими колебательными объектами за счет энергии другой группы колебательных объектов, когда все колебательные процессы объединены некоторым пространственно-временным сродством. Так называемые нерезонансные процессы, такие как кросс-взаимодействия и самовоздействие, также могут быть включены в подобное определение, но со специальной оговоркой, касающейся их специфических динамических свойств.

Для широкого класса механических систем со стационарными краевыми условиями математическое определение резонанса следует из рассмотрения следующих усредненных функций

(9)

, при

где

- комплексные константы соответствующие решениям линеаризованных эволюционных уравнений (5);

- пространственный объем, занимаемый системой. Если функция

претерпевает скачек при заданных значениях

, то систему следует отнести к резонансной[5]. Последнее подтверждается основными результатами теории нормальных форм. Резонанс имеет место при условии выполнения условий фазового синхронизма

Здесь

- число резонансно взаимодействующих квазирармоник;

- некоторые целые числа

;

- параметры малой расстройки.

Пример 1. Рассматриваются линейные поперечные колебания тонкой балки, подверженной действию малой внешней периодической силы и параметрического возбуждения, согласно уравнению

где

- некоторые подходящие константы,

. Это уравнение переписывается в стандартной форме

где

. При

, решение уравнения таково, где собственные частоты удовлетворяют дисперсионному соотношению

. Если

, тогда малые амплитудные вариации удовлетворяют следующему уравнению

где

- групповая скорость амплитудной огибающей. Усреднение правой части этого уравнения, в соответствии с (9), дает

, при

;

, при

;

во всяком другом случае.

Отметим, что резонансные свойства системы с нестационарными краевыми условиями не всегда могут быть обнаружены с помощью функции

Пример 2. Рассматриваются уравнения, описывающие колебания балки по модели Бернулли-Эйлера:

с граничными условиями

;

. После приведения уравнений к стандартной форме и использовании формулы (9), определяется скачек функции

при условиях