Структурная схема и управление электроприводом (стр. 2 из 4)

или в векторной форме

(4)

Аналогично векторное уравнение напряжений ротора:

(5)

В уравнениях (4) и (5) векторы записаны соответственно в системах координат статора и ротора. Для совместного решения уравнений их необходимо привести к одной системе координат.

При исследовании переходных процессов в электродвигателях переменного тока применяют различные ортогональные системы координат, отличающиеся угловой скоростью вращения координатных осей сок, например системы, оси которых неподвижны относительно ротора, или неподвижны относительно статора, или вращаются с синхронной скоростью.

Уравнения асинхронного электродвигателя в системе координат, вращающейся с произвольной скоростью ω_к, имеют вид

(6)

где ω — угловая скорость вращения ротора; p_п — число пар полюсов.

При исследовании переходных процессов в асинхронном электродвигателе, управляемом частотой и напряжением статора, удобно использовать систему координат, вращающуюся со скоростью ω_к, равной угловой скорости вращения магнитного поля ω₀’, приведенной к числу пар полюсов, равному единице (приведенной к двухполюсному электродвигателю). Предполагается при этом справедливым равенство

,

где f₁ — частота напряжения статора, Гц; ω₁ — угловая частота напряжения статора, рад/с.

На основании уравнений (6) для рассматриваемой координатной системы можно записать

(7)

где s — скольжение электродвигателя:

(ω₀= ω₀’/p_п — угловая скорость вращения магнитного поля, или синхронная скорость электродвигателя).

Потокосцепления связаны с токами через индуктивности

(8)

Для определения электромагнитного момента асинхронного электродвигателя используется векторное произведение ψ₁ и i₁

тогда

(9)

или векторное произведение ψ₂ и i₂’, тогда

(10)

Учитывая выражения (8), можно записать (9) и (10) в виде

; (11)

. (12)

Вторые равенства в уравнениях (11), (12) справедливы потому, что векторное произведение двух одинаково направленных векторов равно нулю.

Для полного описания переходных процессов в асинхронном электродвигателе к уравнениям напряжений и моментов следуй добавить уравнение

, (13)

записанное для скалярных значений моментов М и М_с.

Полученная система уравнений электродвигателя является нелинейной, и решение ее для различных динамических режимов работы электродвигателя может быть выполнено с использованием вычислительных машин. При синтезе систем управления асинхронным электродвигателем целесообразно располагать простыми и наглядными динамическими моделями электродвигателя в виде передаточных функций или структурных схем. Такая возможность появляется, если рассматривать переходные процессы в отклонениях относительно начальных координат электродвигателя.

Сравнительно простая структурная схема может быть получена, если пренебречь активным сопротивлением статорной цепи, т. е. положить R₁=0. Безусловно, что такое пренебрежение накладывает определенные ограничения на использование получаемых моделей. Они вполне применимы для систем с небольшим диапазоном регулирования скорости относительно синхронной скорости, для электродвигателей средней и большой мощности. При широком регулировании скорости, а также для электродвигателей малой мощности необходимы уточнения структурных схем.

Для дальнейших исследований динамических свойств асинхронных ^ электродвигателей целесообразно результирующие векторы представить в виде проекций на комплексной плоскости и записать их через вещественные и мнимые части в следующем виде:

(14)

Совместив вектор напряжения статора с действительной осью координатной системы, т. е. положив u_1β=0, на основании (7) получим

; (15)

; (16)

; (17)

. (18)

Выразив также электромагнитный момент по уравнению (9) через составляющие векторов тока и потокосцепления

и применив правило векторного произведения векторов, получим абсолютное значение момента:

, (19a)

где

;

Воспользовавшись выражением (10), можно аналогично получить

(19б)

где

;

Составляющие тока ротора могут быть выражены через составляющие потокосцепления в следующем виде:

(20)

где k₁ - коэффициент электромагнитной связи статора;

k₁=L_m/L₁; (21a)

. (21б)

С учетом (8) и (21а) можно выражения моментов записать в форме, удобной для вывода передаточных функций двигателя;

или

. (22)

В случае одновременного изменения частоты и напряжения статора, при котором потокосцепление статора остается постоянным, из уравнений (15) и (16) можно получить

(23)

Для двигателя с короткозамкнутым ротором в уравнениях (17), (18)

. Выразив из уравнений (20) ψ_2α и ψ_2β и подставив их в уравнения (17), (18), получим

(24)

(25)

. (26)

Рассматривая переменные величины в приращениях относительно начальных значений

, , , , , , получим из (23) - (26) уравнения для статического режима, связывающие начальные значения координат,

(27)

(28)

(29)

(30)

и уравнения для динамического режима, связывающие приращения координат:

(31)

(32)

(33)

где

- электромагнитная постоянная времени электродвигателя;

- критическое скольжение.

На основании уравнений (27)-(33) можно записать передаточную функцию

(34)

Выражение

в первом слагаемом числителя (34) представляет собой значение фиктивного пускового момента М_п.ф. определяемое в результате линеаризации рабочей части механической характеристики двигателя для принятых значений напряжения статора U_1α и угловой частоты напряжения статора Ω₁: