Основи електротехніки (стр. 1 из 3)

Задача 1

Задано величини напруги на вхідних затисках схеми й опору. Визначити струми у всіх вітках схеми (рис. 1.0).

Рис. 1.0

Вихідна схема

Дано:

U = 100 В; R₁ = 10 Ом;

R₂ = 20 Ом; R₃ = 7 Ом;

R₄ = 8 Ом; R₅ = 10 Ом;

R₆ = 20 Ом; R₇= 10 Ом;

R₈ = 5 Ом; R₉ = 5 Ом.

Визначити: струми в вітках.

Рішення:

Рис. 1.1

Проставимо напрямки струмів у вітках від (+) до (-). Позначимо вузли а, в, с, d. Проставимо напрямки напруг на паралельних ділянках кола U_ав, U_cd.

Схему перетворимо до еквівалентного опору.Опори R₇, R₈ і R₉ з'єднані послідовно і еквівалентний опір цієї вітки дорівнює: R₇₈₉ = R₇ + R₈ + R₉ = 10 + 5 + 5 = 20 Ом (Рис. 1.1).Опори R₆ і R₇₈₉ з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір: R_6-9 = R₆· R₇₈₉/( R₆ + R₇₈₉)=20·20/(20+20)= 10 Ом (Рис. 1.2).

Опори R₅ і R_6-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола cd): R_cd = R₅· R_6-9/( R₅ + R_6-9) = 10·10/(10+10) = 5 Ом (Рис. 1.3). R₁ R₁ R₂ R_3-9

Опори R₃, R_cd і R₄ з'єднані послідовно і їх еквівалентний опір:

R_3-9 = R₃ + R_cd + R₄ = 7 + 5 + 8 = 20 Ом (Рис. 1.4).

Опори R₂ і R_3-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола ав): R_ав = R₂· R_3-9/( R₂ + R_3-9) = 20·20/(20+20) = =10 Ом (Рис. 1.5).

Еквівалентний опір усього кола (опори R₁ і R_ав з'єднані послідовно):

R_екв = R₁ + R_ав = 10 + 10 = 20 Ом (рис. 1.6).

Струми визначаємо за допомогою закону Ома, розглядаючи схеми в зворотному порядку.

Сила струму на вході кола:

I₁ = U/R_екв = 100/20 = 5 А.

Напруга на паралельній ділянці ав:

Uав = I₁·R_ав = 5·10 = 50 В.

Сила струму: I₂ = Uав/R₂ = 50/20 = 2,5 A.

Сила струму: I₃ = I₄ = Uав/R_3-9 = 50/20 = 2,5 А.

Напруга на паралельній ділянці cd:

Ucd = I₃·R_cd = 2,5·5 = 12,5 В.

Силаструму: I₅ = Ucd/R₅ = 12,5/10 = 1,25 A.

Силаструму: I₆ = Ucd/R₆ = 12,5/20 = 0,625 A.

Силаструму: I₇ = Ucd/R₇₈₉ = 12,5/20 = 0,625 A.

Перевірка правильності рішення по першому закону Кірхгофа.

Вузол а: I₁ – I₂ – I₃ = 0; 5 – 2,5 – 2,5 = 0.

Вузол c: I₃ – I₅ – I₆ – I₇ = 0; 2,5 – 1,25 – 0,625 – 0,625 = 0.

Задача 2

Дані всі ЕРС і опори в схемі (рис. 2.1). Потрібно:

1. Скласти рівняння Кірхгофа (не вирішуючи).

2. Перетворити пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку і визначити струми віток методами контурних струмів і двох вузлів.

3. Скласти баланс потужностей.

4. Побудувати потенційну діаграму для контуру, що містить обидві ЕРС.

Рис.2.1

Вихідна схема

Дано:

E₁ = 60B,

E₂ = 40 Ом,

R₁ = 8 Oм,

R₂ = 10 Oм,

R₃ = 12 Oм,

R₄ = 16 Oм,

R₅ = R₆ = R₇ = 30 Oм

Рішення:

1. Довільно проставляємо в вітках напрямки струмів і вибираємо напрямки обходів обраних контурів.

Складаємо рівняння за законами Кірхгофа.

Перший закон.

Для вузла 1 I₇ + I₅ - I₁ = 0.

Длявузла 2 I₂ - I₆ - I₅ = 0.

Длявузла 3 I₃ + I₆ - I₇ = 0.

Другий закон.

Для контуру А E₁ + E₂ = I₁·R₁ + I₂·R₂ + I₅·R₅.

Для контуру В E₂ = I₂·R₂ – I₃·(R₃ + R₄) + I₆·R₆.

Для контуру С 0= I₇·R₇ – I₅·R₅ + I₆·R₆.

2. Перетворимо пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку (рис. 2.2).

Рис.2.2. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку

Так як опори трикутника однакові, то еквівалентні опори зірки (рис. 2.2) також однакові і рівні:

Рис.2.3. Розрахункова схема

Опори віток (рис.2.3) після перетворення трикутника в еквівалентну зірку рівні:

R₁^/= R₁ + R₅₇ = 8 + 10 = 18 Ом;

R₂^/ = R₂ + R₅₆ = 10 + 10 = 20 Ом;

R₃^/ = R₃ + R₄ + R₆₇ =

=12 + 16 + 10 = 38 Ом.

1. Визначимо струми по методу контурних струмів (рис. 2.3). Для цього складемо контурні рівняння.

E₁ + E₂ = J₁·(R₁^/ + R₂^/ ) + J₂· R₂^/.

E₂ = J₁·R₂^/ + J₂·(R₂^/ + R₃^/ ).

Підставимо чисельні значення.

100 = J₁·38 + J₂·20.

40 = J₁·20+ J₂·58.

Контурні струми знаходимо за допомогою методу визначників.

J₁ = ∆₁/∆ = 5000/1804 = 2,77.

J₂ = ∆₂/∆ = - 480/1804 = - 0,266.

Визначимо струми в вітках.

I₁ = J₁ = 2,77 A; I₂ = J₁ + J₂ = 2,77 – 0,266 = 2,504 A.

I₃ = - J₂ = - 0,266 A.

Знак мінус свідчить про те, що струм у третій вітці в дійсності тече в зворотному напрямку.

2. Визначимо струми за допомогою методу двох вузлів (рис. 2.3). Спочатку визначимо вузлову напругу.

g₁, g₂, g₃ – провідності відповідних віток.Далі визначимо струми в вітках.

I₁ = (E₁+U_АВ)/ R₁^/ = (60- 10,11)/18 = 2,77 A.

I₂ = (E₁-U_АВ)/ R₂^/ = (40 + 10,11)/20 = 2,505 A.

I₃ = -U_АВ/ R₃^/ = -10,11/38 = - 0,266 A.

3. Складемо баланс потужностей. Потужність, споживана від джерел ЕРС, повинна бути дорівнювати потужності, виділюваної в навантаженні (в опорах): Р_спож = Р_нагр.

E₁· I₁ + E₂ · I₂ = I₁²· R₁^/ +I₂²· R₂^/ + I₃²·R₃^/.

60 · 2,77 + 40 ·2,505 = 2,77²· 18 + 2,505²· 20 + 0,266²· 38.

266,4 = 266,3.

Погрішність розрахунків:

Точність розрахунку досить висока.

4. Для побудови потенційної діаграми визначимо потенціали всіх точок, попередньо прийнявши потенціал точки В рівним нулеві.

j_B = 0; j_Ñ = j_BE₁ = - 60 B; j_À = j_C + I₁·R₁ = - 60 + 2,77·18 = - 10,14 B; j_D = j_À + I₂·R₂ = -10,14 + 2,505·20 = 40 B; j_B = j_D –E₂ = 0.

Рис.2.4. Потенційна діаграма

Задача 3

По заданих величинах визначити для кола (рис. 3.1) перемінного струму частотою f =50 Гц при амплітуді U_м і початковій фазі φ_u:

1. Показання приладів електромагнітної системи (вольтметра, амперметра і ватметра).

2. Побудувати в масштабі векторну діаграму напруг і струму.

3. Записати миттєві значення напруги і струму на вході кола:

i = I_мּ Sin(ω·t + φ_i)

и

U = U_мּ Sin(ω·t + φ_u).

Рис.3.1. Розрахункова схема.

Дано:

U_м =100 В, φ_u= 10^о;

R₁=20 Ом, R₂=25 Ом;

L₁= 63,8 мГн; С₁= 100 мкФ.

Рішення:

Діюче значення напруги (показання вольтметра):

U = U_м/1,41 = 100/1,41 = 70,71 В.

Миттєве значення напруги:

U = 100 ּ Sin(ω·t + 10^о).

Опори:

X_L1 = ω·L₁ = 2·π· f · L₁ = 2·π· 50 ·63,8·10^-3 = 20 Ом.

X_С1 = 1/(ω·С₁₎ = 1/(2·π· f ·З₁) = 1/(2·π· 50 ·100·10^-6) = 32 Ом.

Модуль повного опору кола:

z = [(R₁ + R₂)² + (X_L1 – X_C1)]^0,5 = [45² + (-12)²]^0,5 = 46,57 Ом.

Зсув фаз між струмом і напругою:

φ = arc tg (X_L1– X_C1)/(R₁ + R₂) = arc tg(-12/45) = - 14,93^o.

Модуль струму в колі (показання амперметра):

I = U/z = 70,71/46,57 = 1,52 А.

Амплітудне значення струму:

I_м = I·1,41 =1,52 · 1,41 = 2,15 А.

Початкова фаза струму:

φ_i = φ_u – φ = 10^o + 14,93^o = 24,93^o.

Миттєве значення струму:

I = 2,15 ּ Sin(ω·t + 24,93^о).

Активна потужність у колі (показання ватметра):

P = I² · (R₁ + R₂) = 1,52² · (20 + 25) = 104 Вт.

Для побудови векторної діаграми (рис. 3.2) визначимо модулі спадань напруги на кожнім елементі кола.

U_R1 = I·R₁ = 1,52 · 20 = 30,4 В; U_L1=I · X_L1=1,52 · 20 = 30,4 В;

U_R2 = I ·R₂ = 1,52 · 25 = 38 В; U_C1 = I ·X_C1 = 1,52·32 =48,64 В.

Виберемо масштаби. Для струму – довільний. Для напруг – 0,5 В в 1мм. При побудові векторної діаграми враховуємо другий закон Кірхгофа:

Ủ = Ủ_R1 + Ủ_L1 + Ủ_R2 + Ủ_C1.

Рис.3.2. Векторна діаграма

Задача 4

Задано значення напруги і всіх опорів у колі (рис. 4.1). Потрібно:

1. Визначити струми I₁, I₂, I₃, напругу U₂ і cosj кожної ділянки кола.

2. Обчислити активну, реактивну і повну потужності всього кола.

3. Побудувати в масштабі векторну топографічну діаграму струмів і напруг.