Динамика вращательного движения твердого тела (стр. 2 из 6)

Момент силы

, действующей на тело, относительно оси вращения определяется по формуле (1.1, раздел 1.1).

Момент импульса

тела, вращающегося относительно неподвижной оси, определяется по формуле (1.4). Для определения момента импульса материальной точки с импульсом относительно начала координат используют выражение (1.6).

Для системы тел используют выражение

(например, суммарный момент импульса гири массой , прикрепленной на шнуре к вращающемуся маховику радиусом , равен где момент импульса движущегося груза гири, линейная скорость гири и точек цилиндрической поверхности маховика; момент импульса, вращающегося с угловой скоростью и обладающего моментом инерции , маховика).

Момент инерции тела зависит в общем случае от его массы, расположения массы в теле, размеров и формы тела и положения оси вращения.

Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки (см. формулу (1.8));

б)дискретного твердого тела (см. формулу (1.9));

в) сплошного твердого тела (см. формулу (1.10)).

В случае непрерывного распределения массы тела (сплошное однородное твердое тело), тело делится на бесконечно малые участки массы

и, считая их за материальные точки, находятся моменты инерции этих участков относительно оси вращения, а затем производится интегрирование.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы приведены в таблице 1.

Таблица 1

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой и длиной	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню. Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню.	1/12 1/3
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом и массой , маховик радиусом и массой , распределенной по ободу	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом и массой	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания	1/2
Однородный шар массой и радиусом	Проходит через центр шара	2/5
Диск массой и радиусом , толщина которого много меньше его диаметра	Относительно оси вращения, совпадающей с диаметром диска	1/4

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой оси можно определить по теореме Штейнера: момент инерции тела

относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции этого тела относительно оси вращения О₁О_2, проходящей через центр масс тела С параллельно оси , и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями (см. Рис. 1), т.е. .

Момент инерции системы отдельных тел равен

(например, момент инерции физического маятника равен , где момент инерции стержня, на котором крепится диск с моментом инерции ).

Чаще всего при решении задач основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в случае постоянных момента силы

и момента инерции используется в виде , где изменение момента импульса вращающего тела равно произведению среднего момента сил, действующего на тело, на время действия этого момента.

В общем случае в момент сил могут входить: вращающий момент сил, момент сил трения, моменты сил натяжения нитей (при решении задач на блоки, через которые перекинута нить и т.д.). При решении задач на блоки необходимо обычно учитывать массу блока, и, следовательно, момент инерции блока, что приводит к тому, что силы натяжения нитей по обе стороны блока не будут одинаковыми и как следствие к появлению вращающего момента сил, равного разности моментов сил по обе стороны блока.

3. Классическиепримеры решения некоторых типовых задач

Пример 1

Чему равен момент инерции

цилиндра с диаметром основания d и высотой Н относительно оси совпадающей с его образующей? Плотность материала цилиндра .

Дано:

d;

Н;

.

?

Рис. 2

Решение: Согласно теоремы Штейнера момент инерции цилиндра

относительно оси равен сумме его момента инерции относительно оси симметрии , проходящей через центр цилиндра С, и произведения массы цилиндра на квадрат расстояния между осями и :