Динамика вращательного движения твердого тела (стр. 3 из 6)

.(1)

Момент инерции цилиндра

относительно оси определяется формулой , где , поэтому

.(2)

Массу цилиндра выразим через его плотность

и объем :

, где , поэтому ; площадь основания цилиндра и, следовательно,

.(3)

Расстояние между осями

и . (4)

Подставив (2), (3) и (4) в (1), получаем

+

Пример 2

Два маленьких шарика массой

10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции системы, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Дано:

10 г 10^{-2 кг;}

20 см 0,2 м.

?

Рис. 3

Решение: Общий момент инерции, проходящий через центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двух материальных точек массой

каждая и вращающихся вокруг оси на расстоянии .

2^.10^-4 кг м².

Пример 3

Найти момент инерции

плоской однородной прямоугольной пластины массой 800 г относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны равна а

30 см.

Дано:

800 г 0,8 кг;

а

30 см

0,3 м.

?

Рис. 4

Решение: Найдем момент инерции пластины относительно оси

. Для этого разобьем пластину на бесконечно малые участки массой (один из них выделен на рис. 4).

,(1)

где

- поверхностная плотность пластины;

- площадь пластины.

Так как участок массой

можно считать материальной точкой, то момент инерции этого участка относительно оси

.(2)

После подстановки выражения (1) в (2) получаем

.(3)

Складывая моменты инерции всех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:

.(4)

Подставив численные значения, найдем

2,4 10^-2 кг м².

Пример 4

Обруч массой

1 кг и радиусом 0,2 м вращается равномерно с частотой 3 с^-1 относительно оси , проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча .

Дано:

1 кг;

0,2 м;

3 с^-1.

?

Рис. 5

Решение: Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции этого тела

и его угловой скорости :

.(1)

Момент инерции обруча относительно оси

по теореме Штейнера равен сумме момента инерции этого обруча относительно оси , проходящей через его центр С, и произведения массы обруча на квадрат расстояния между осями и , которое, как следует из рисунка, равно

:

,(2)

где

. (3)

Угловая скорость

обруча связана с его частотой вращения соотношением

.(4)

Подставив выражение (2), (3) и (4) в (1), получаем

0,94 кг м² с^-1.

Пример 5

Вал в виде сплошного цилиндра массой

12 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 4 кг. С каким ускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?