Расчет коэффициента ассиметрии при рассеянии релятивистских частиц на кулоновском потенциале (стр. 3 из 7)

3. СЛУЧАИ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ

Рассмотрим теперь рассеяние быстрых электронов неэкранированным атомным ядром с зарядом Zе, когда

V=-Ze/r

Как и в нерелятивистском случае, исследованном в гл. 3, медленное убывание этого потенциала с расстоянием вызывает изменение асимптотической формы функций

и . Формулы (9.26) и (9.27) остаются справедливыми, а фазы и таковы, что

~

Где

Уравнения (9.20), определяющие функции

, приобретают теперь вид

Записывая

Имеем

Где

Разлагая

и в ряд

= =

Находим, что регулярные решения могут быть представлены в виде

=

=

Где

, ,

Это дает

=

Где

- постоянная. Воспользовавшись асимптотическими значениями гипергеометрических функций, приведенных в гл. 3, § 3, имеем

~

Где

Постоянная

равна, таким образом,

=

Записывая

=

И подставляя (9.42) и соответствующее выражение для ехр(2i

) в формулы (9.26) и (9.27), получаем

Следовательно, дифференциальное сечение равно

|f|2+|g|2=

Функции F и G не могут быть получены в конечной форме; при рассеянии легкими элементами они могут быть,однако, разложены в ряд по степеням

, поскольку .

В предельном случае

²=0 справедливы результаты, полученные нами при исследовании рассеяния кулоновским полем без учета спинового и релятивистского эффектов. Из формулы (3.16) следует, что в этом случае

g(

)

0

Где R=

Разлагая F и G в ряд по степеням

, имеем

F=F₀+

F₁+

²F₂+…

G=G₀+

G₁+

²G₂+…

Воспользовавшись формулой (9.45) при

, получаем

ПосколькуFиGдолжны зависеть от

, подставляемэти функции в (9.46) и находим дифференциальное сечение

Эта формула справедлива для всех значений v при условии, что величина

мала по сравнению с единицей.

Следовательно, в рассматриваемом приближении формула Резерфорда должна быть умножена на выражение

Первый множитель учитывает лоренцево сжатие, второй связан с наличием спина. Поскольку в этом приближении как f, так и g вещественны (если опустить общий фазовый множитель

), то при двойном рассеянии не должно было бы наблюдаться никакой асимметрии. Для получения конечного значения величины , определяемой формулой (9.31), необходимо решить задачу в следующем приближении. Это было проделано Моттом [11], который показал, что при

При v/c=0,81 эта функция приобретает минимальное значение, равное 0,2(Z/137)². Дифференциальное сечение (9.17), вычисленное в том же приближении, содержит множитель [13,14]

Вместо множителя

В случае рассеяния тяжелыми элементами отношение Z/137уже не является малым, и приближенные формулы (9.47),(9.48) перестают быть справедливыми. Мотт впервые определил численные значения дифференциальных сечений и степени асимметрии с помощью точных формул (9.45). В 1932 г. он вычислил

как функцию отношения v/с для случая двукратного рассеяния на 90° электронов ядрами золота и нашел также значения дифференциальных сечений для однократного рассеяния электронов на этот угол.