2. непараметрические - это гипотезы, сформулированные относительно вида распределения (например, определение по выборке степени нормальности генеральной совокупности). Процесс использования выборки для проверки гипотезы называется статистическим доказательством. Основную выдвигаемую гипотезу называют нулевой Но. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную ей H1. Например, Н0: М(х)=1, математическое ожидание генеральной совокупности равно 1; H1: M(x)>1, или М(х)<1, или М(х)

1 (математическое ожидание больше 1, или меньше 1, или не равно 1).

Выбор между гипотезами Но и H1 может сопровождаться ошибками двух родов. Ошибка первого рода

. означает вероятность принятия H1, если верна гипотеза Н0:

. Ошибка второго рода означает вероятность принятия Но, если верна гипотеза H1:

Существует правильное решение двух видов:

(табл.7).

Таблица 1 Ошибки первого и второго родов

Принятая гипотеза	Но	Н1
Но - верна
Но – не верна

Правило, по которому принимается решение о том, верна или не верна гипотеза Но, называется критерием, где:

-уровень значимости критерия;

М=

-мощность критерия.

Статистическим критерием «К» называют случайную величину, с помощью которой принимают решение о принятии или отклонении Но.

Замечание. Для проверки параметрических гипотез используют критерии значимости, основанные на статистиках u,

t, F. Непараметрические гипотезы проверяют с помощью критериев согласия, использующих статистики распределений:

Колмогорова-Смирнова и т.д.

Например, Но: M(x)=10. В зависимости от альтернативной гипотезы рассматривают три случая:

1.Если Н1: M(x)

10.

В этом случае рассматривают двустороннюю критическую область и используют дифференциальную функцию f(K/H0), для определения соответствующих квантилей (границ области принятия гипотезы - левой (К

) и правой (К

))- Площадь под криволинейной трапецией дифференциальной функции слева от K

и справа от К

равна

. Общая площадь ограниченная криволинейной трапецией дифференциальной функции, квантилями и осью абсцисс, равна(1 -α):

2. Если Н1: M(x)> 10, то рассматривается правосторонняя критическая область (площадь под криволинейной трапецией справа от К

равна

);

(1.4)

Рис.2. Правосторонняя критическая область

3. Если Н1: M(x)< 10, то рассматривается левосторонняя критическая область (площадь под криволинейной трапецией слева от К

равна

(1.5)

Рис. 3. Левосторонняя критическая область

Алгоритм проверки статистических гипотез

Располагая выборочными данными (х₁,х₂,...,х_n), формируют нулевую гипотезу h₀и конкурирующую гипотезу H₁ .

1. Задают уровень значимости

(обычно принимают

=0,1; 0,01; 0,05; 0,001).

2. Рассматривается выборочная статистика наблюдений (критерий) К, обычно одна из перечисленных ниже:

u - нормальное распределение;

- распределение Пирсона (хи - квадрат);

t - распределение Стьюдента;

F - распределение Фишера - Снедекора.

4. На основании выборки (х₁,х₂,...,х_n) - определяют значение критерия (статистики) К (приложения 5-7) В зависимости от вида альтернативной гипотезы выбирают по соответствующей таблице квантили критерия для двусторонней (K

и К ) или односторонней области (Kили К ). Если значения критерия попадают в критическую область, то Н_оотвергается; в противном случае принимается гипотеза Н_о и считается, что Н_о не противоречит выборочным данным (при этом существует возможность ошибки с вероятностью, равной

Замечание. Следует отметить, что возможность принятия гипотезы происходит из принципа невозможности наступления маловероятных событий. Те же события, вероятность которых близка к 1, принимаются за достоверные. Возникает проблема выбора уровня риска (уровня значимости

В одних случаях возможно пренебрегать событиями р<0,05, в других -нельзя пренебрегать событиями, которые могут появиться с р=0,001 (разрушение сооружений, транспортных средств и т. д.).

Цель работы

Сформулировать и проверить статистические гипотезы,на основании которых можно выяснить:

- можно или нет двум предприятиям разрешить сброс сточных вод?

- одинакова ли квалификация обоих лаборантов (то есть, отличаются ли у них значимо результаты анализов)?

- сколько образцов достаточно брать для испытаний на, первом и втором предприятиях?

Актуальность построения математической модели состоит в том, что изменение качества водного объекта ведёт к сильным изменениям среды. Оно может произойти из-за некоего антропогенного воздействия, как правило, негативного. Такими воздействиями могут являться сбросы сточных вод. При существующей безнаказанности и безответственности некоторых руководителей промышленных предприятий очень важно уметь правильно определить изменение состояния, а соответственно индексы показателей качества воды при залповом сбросе сточных вод для дальнейшего взыскания экологических штрафов за превышение допустимых показателей и несанкционированный сброс. При аварийных сбросах также важно оценить катастрофичность ситуации.

Описание исходных данных

Лаборатория проводит анализ проб воды с целью определения наличия в них вредных веществ. С определенным видом проб работают два лаборанта, результаты анализов сравниваются. Пробы воды поступают из двух предприятий. Лаборатория должна дать заключение, о допустимости сброса сточных вод. Кроме того, руководителя лаборатории интересует вопрос: отличаются ли по точности результаты экспериментов у первого и второго лаборанта? Им было предложено независимо проанализировать одни и те же образцы. Для этих образцов необходимо было определить содержание вредного вещества X. В единице объема количество Х не должно превышать 0,015. Уровень значимости

. Данные измерений представлены таблицами 1-4.

Данные измерений, проведенных лаборантами приведены в таблицах:

Таблица 1 Лаборант 1,пункт 1; n₁= 120

X_j	0,0110	0,0120	0,0127	0,0130	0,0138	0,0014	0,0150	0,0156	0,0170	0,0180
n_j	2	2	7	16	30	35	20	5	2	1

Таблица 2 Лаборант 1,пункт 2; N₂ = 25

X_j	0,0120	0,0128	0,0135	0,0140	0,0147	0,0156	0,0160
n_j	1	2	5	10	4	2	1

Таблица 3 Лаборант 2, пункт 1; N₃ = 110

Оценка степени загрязнения сточных вод (стр. 3 из 6)

Описание исходных данных