Смекни!
smekni.com

Оценка степени загрязнения сточных вод (стр. 4 из 6)

Xj 0,0100 0,0120 0, 0135 0,0142 0,0149 0,0152 0,0160 0,0175 0,0190
nj 2 10 17 30 25 17 5 3 1

Таблица 4 Лаборант 2, пункт 2; N4= 20

Xj 0,0115 0,0127 0,0136 0,0142 0,0150 0,0152 0,0165
nj 1 1 3 10 3 1 1

где: Xi - значение концентрации загрязняющего вещества;

ni – частота появления i-ого варианта в объеме выборки.

N – Количество проведенных измерений.

Расчетная часть

На первом этапе работы необходимо получить числовые характеристики распределения.

1) Характеристики положения.

- Среднее арифметическое:

, ( 2.1 )

где а - индекс, определяющий лаборанта;

b - Индекс, определяющий предприятие.

,
,
,

- Мода - вариант, имеющий наибольшую частоту.

,
,
,

- Медиана - вариант, делящий ряд на две равные части.

,
,
,
2). Характеристики рассеяния.

- Дисперсия - характеризует средний квадрат отклонения хi ,от

.

( 2.2 )

,
,
,
.

- Среднее квадратическое отклонение:

( 2.3 )

,
,
,
.

- Коэффициент вариации- характеризует разброс значений.

( 2.4 )

,
,
,
3). Характеристика меры скошенности.

- Коэффициент асимметрии:

. ( 2.5 )

,
,
,
4). Характеристика островершинности.

- Эксцесс:

. ( 2.6 )

,
,
,

Получив основные числовые характеристики (положения, рассеяния, асимметрии, островершинности) распределения, можно сделать в первом приближении суждение о нормальности распределения, для которого, как известно,

,
. Найденные значение коэффициента асимметрии (недостаточно близкое к нулю) указывает, что распределение не симметрично. Эксцесс также отличен от нуля, что говорит о возможном отличии распределения от нормального.

Далее следует более детально проверить гипотезу о нормальности распределения, принятие которой позволяет применять собственно метод анализа вариационных рядов.

Точные параметры гипотетического нормального закона нам неизвестны, поэтому проверим нулевую гипотезу, о нормальности закона распределения концентраций в исследуемых пробах (на примере проб с первого пункта у первого лаборанта). Сформулируем нулевую гипотезу:

F(x) - функция нормального распределения с параметрами
и
, и, соответственно, противоположную ей
- не является функцией нормального распределения. В этих гипотезах функция F(x) – это функция распределения концентраций в исследуемых пробах.

Для проверки этой нулевой гипотезы используем найденные выше точечные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины (концентрации):

(по формуле 2.1);

(по формуле 2.3);

При проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности сравниваются эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормальности распределения) частоты. Для этого используются статистика

- Пирсона с
степенями свободы (k - число групп, r - число оцениваемых параметров, в настоящем примере оценивались математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, следовательно, r=2). Если
, то нулевая гипотеза отвергается и считается, что предположение о нормальности распределения не согласуется с опытными данными. В противном случае (
) нулевая гипотеза принимается.

Преобразуем имеющийся ряд измерений (табл. 1) в интервальный вариационный ряд. Для построения такого ряда промежуток изменения концентраций (значений варианта

) разбивается на ряд отдельных интервалов и подсчитывается количество значений величины в каждомиз них.

Будем считать, что отдельные (частичные) интервалы имеют одну и ту же длину. Число интервалов (k) определить по формуле Стерджесса:

( 2.7 )

Соответственно,

Длина частичного интервала определяется по формуле:

( 2.8 )

Вычислим теоретические вероятности рi попадания СВ

в частичные интервалы [хi-1 ; xi ) по формуле:

Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики

, сведены в таблицу (табл. 5).

Таблица 5

Наблюдаемые значений СВ Х Частоты, ni Нормированные интервалы[ui; ui+1]
0,011-0,0128 11 0,12-0,43 0,111 13,32 5,382 0,404
0,0128-0,0136 16 0,43-0,57 0,131 15,72 0,078 0,005
0,0136-0,0145 65 0,57-0,72 0,521 62,52 6,150 0,098
0,0145-0,0154 20 0,72-0,88 0,167 20,04 0,002 0,0001
0,0154-0,018 8 0,88-1,33 0,07 8,4 0,160 0,019
120 1 120 0,53

Замечание применение критерия

, для проверки гипотезы о нормальности распределения предполагает наличие в каждом частичном интервале не менее пяти элементов, в противном случае желательно объединять эти интервалы с соседними. Именно по этому число интервалов сократилось до 5.