Государство и право 3 (стр. 4 из 7)

Фактический коэффициент запаса прочности (или рабочий коэффициент) для опасного сечения есть

n = s_пред / s_р.

Можно проводить три вида расчетов:

1. Проверочный – по известным размерам и материалу стержня (заданы площадь сечения А и [s]) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку [N]

s_р = N/A£ [s].

2. Проектный – по известным нагрузкам (N задано) и материалу элемента - [s] ) подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:

А ³ N / [s].

3. Определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А задано) и материалу конструкции ([s]- дано) найти допускаемую величину внешней нагрузки:

[N] £ [s] × А.

Оценка жесткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жесткости при растяжении: Ñl< [Ñl]

Величина допускаемой абсолютной деформации [Ñl] назначается отдельно для каждой конструкции.

Аналогично расчетам по условию прочности условие жесткости также предполагает три вида расчетов:

1) проверка жесткости данного элемента конструкции, т. е. проверка выполнения условия ;

2) расчет проектируемого стержня, т. е. подбор его поперечных A³N×l/(E[Ñl]);

3. установка работоспособности данного стержня, т. е. подсчет допустимой нагрузки [N] = [l] × EA/l.

Лекция 5. Решение статически определимых задач

Перед рассмотрением конкретных примеров необходимо отметить, что в задачах на растяжение (сжатие) стержней внешние силы (и реакции связей) действуют вдоль оси стержня (или их равнодействующая приложена вдоль оси стержня), т. е. имеет место одноосное нагружение, поэтому и условие равновесия конструкции как твердого тела в пространстве сводится к равенству нулю суммы проекций всех внешних сил и сил реакций на эту ось, т. е.

F_iz = 0

где i — общее число силовых факторов и реакций.

Известно, что для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия:

— сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей равна нулю, например:

F_iz = 0

— сумма проекций всех сил и сил реакций на другую ось плоскости действия сил равна нулю, пусть

F_iy = 0

-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно любой точки этой плоскости равна нулю

mom_A (F_i)=0

где т. А произвольна.

Иногда для плоской системы сил бывает рациональнее принять три уравнения в другом виде, но «новые» уравнения суть следствия трех вышеназванных:

— сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей плоскости равны нулю, например:

F_iz = 0

-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно любой точки плоскости равна нулю

mom_A (F_i)=0

-сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относительно другой точки плоскости равна нулю

mom_B (F_i)=0

(т. А и В выбираются из соображений рациональности составления уравнений равновесия).

Типичное моделирование условий закрепления концов стержней для плоской системы сил показано на рис. 1.

Рис. 1. Моделирование видов закрепления действием реактивных силовых факторов: шарнирно-подвижная опора — а (реакция вертикальная); шарнирно-неподвижная опора— б (направление реакции неизвестно, ищутся две ее составляющие R_Ay , R_Az); жесткая заделка — в (три неизвестных силовых фактора — две силы и один момент); стержень, шарнирно закрепленный с двух концов — г (принято считать, что он работает на растяжение или сжатие)

В общем случае пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия для стержня:

— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно одной координатной оси равна нулю, например:

F_iх = 0

— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно другой координатной оси равна нулю, например:

F_iy = 0

— сумма проекций всех сил и сил реакций относительно третьей координатной оси равна нулю, например:

F_iz = 0

К ним добавляются три уравнения равенства моментов всех сил и реакций относительно этих координатных осей:

mom_x (F_i)=0

mom_y (F_i)=0

mom_z (F_i)=0

На рис. 2 представлено моделирование жесткого закрепления балки – заделка заменена шестью реактивными силовыми факторами.

Рис. 2. Замена жесткой заделки силовыми факторами — реактивными силами (R_Ax, R_Ay , R_Az) и реактивными моментами (М_х, М_y , М_z = Т)

В статически определимых задачах число неизвестных реакций равно числу уравнений статики для анализируемого тела.

Пример 1. Провести оценку влияния собственного веса на продольную деформацию стержня (рис. 3).

Пусть длина стержня I, площадь поперечного сечения А, собственный вес G, модуль упругости материала стержня Е.

Решение.

1. Условие равновесия (сумма проекций всех сил на ось z) позволяет определить реакцию в заделке (сила веса G направлена вдоль оси z):

F_iz = 0; G-R_Az=0; R_Az=G

2. Применяем метод РОЗУ и определяем продольную силу в сечении 1 -1, она равна весу оставшейся части конструкции:

G^′=G/l(l-z), N=G^¢= G/l(l-z)

3. Нормальные напряжения при этом равны:

s_z=s=N/A=G/l×A(l-z).

Максимальные нормальные напряжения, очевидно, будут в заделке при z = 0:

s_max=Gl/lA=Gl/V=gl,

где V = Al — объем стержня, g— удельный вес.

Проведем численную оценку: имеем стержень из мягкой стали длиной l = 100 м, g= 10⁶ 0,0785 Н/м³, [s] =180 МПа. Тогда s_max = 10⁶ 0,0785 100 = 7,85 10⁶ Н/м² = 7,85 МПа, что составляет меньше 5% от величины [s].

Таким образом, можно сделать вывод, что влияние собственного веса стержневой конструкции следует учитывать при очень длинных стержнях (например, для канатов подъемников).

Рис. 3. Расчетная схема стержня при оценки собственного веса

4. Оценим деформацию стержня:

e_z=s/E=g(l-z)/E.

Текущее значение абсолютного удлинения ∆l(z):

∆l(z)=g/E¦₀^z(l-z)dz

Полное абсолютное удлинение стержня при z=l равно:

∆l=gl²/2E=Gl/2EA

или удлинение стержня под действием собственного веса вдвое меньше, чем удлинение под действием такой же по величине, как вес, нагрузки, но приложенной к концу стержня .

Лекция 5. ИЗГИБ. УСТОЙЧИВОСИТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.

Возьмём прямолинейный призматический брус с продольной плоскостью симметрии (рис. 1); приложим в этой плоскости уравновешенные силы, действующие перпендикулярно к оси бруса. Брус под действием этих сил изогнётся, ось его искривится.

Рис. 1

Изгибом называется деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки. В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.

Изгиб называется прямым, если внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.

Главной плоскостью сечения называется плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.

Изгиб называется косым, если внешние силы не лежат в главной плоскости сечения.

В зависимости от характера внутренних силовых факторов, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть чистым и поперечным.

Изгиб называется чистым, если в поперечном сечении балки (бруса) возникает один изгибающий момент М_И.

Изгиб называется поперечным, если под действием внешних сил в сечении балки (бруса) возникают изгибающий момент М_И и поперечная сила Q_y

Для наглядного представления деформации изгиба возьмём небольшой призматический резиновый стержень. Начертим на его грани две линии, параллельные друг другу и перпендикулярные к оси стержня. Приложим по его концам в плоскости симметрии два равных, но противоположно направленных момента (рис. 2, а). Стержень под действием изгибающих моментов прогнётся, начерченные прямые останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси стержня (рис. 2, б).

Видно, что плоские сечения взаимно поворачиваются одно относительно другого. Очевидно, такой поворот происходит вследствие растяжения одних волокон материала и сжатия других. Отсюда легко сделать заключение, что у балки имеется такой слой волокон, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Этот слой называется, нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью какого-либо поперечного сечения называется нейтральной осью (линия nn).