Инвариантные свойства ортогонального проецирования (стр. 3 из 5)

параллелизма a является одна из плоскостей проекций.

Винтовые поверхности называют – прямой геликоид и наклонный

геликоид. Прямой геликоид Поверхность прямого геликоида формируется при движении

прямолинейной образующей L по цилиндрической винтовой линии к

(криволинейная направляющая) и прямолинейной направляющей n (ось

цилиндрической винтовой линии). В каждом своем положении образующая L

пересекает ось винтовой линии под прямым углом. Плоскостью параллелизма

прямого геликоида представленного на рис. 80 является горизонтальная

плоскость проекций П1. Наклонный геликоид. Поверхность наклонного геликоида формируется при движении прямолинейной образующей L по конической винтовой линии к(криволинейная направляющей) и прямолинейной направляющей n (ось

конической винтовой линии). Образующая в каждом своем положении

пересекает ось i под постоянным углом w, то есть образующая наклонного геликоида L параллельна образующим направляющего конуса с углом при

вершине 2w.

Образование и изображение линейчатой поверхности. Основные определения. Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Пусть даны три пространственные кривые а, b, с. Возьмем на кривой а произвольную точку М, примем ее за вершину конической поверхности , а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой c. Если N – точка пересечения дуги кривой b с поверхностью , то прямая МN пересечет дугу кривой с в точке L. Прямая МN и кривая с принадлежат одной конической поверхности, поэтому МN

с = L, МNL – образующая поверхности , заданной тремя кривыми. Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Движение прямой – образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности. При образовании линейчатой поверхности может быть задана одна или две направляющие. Дополнительные условия движения образующей прямой должны быть даны в законе движения образующей. Линейчатая поверхность в дифференциальной геометрии - поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие,- направляющей кривой.

Образование изображение торовых поверхностей. Сечение их плоскостью.При вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости образующей окружности, образуются торовые поверхности. Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках, следовательно, это поверхность четвертого порядка.

Образование линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма. Цилиндр, коноид, косая плоскость.

Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n (рис. 8.13).

Поверхность цилиндроида (рис. 77) формируется при движении

прямолинейной образующей L по двум криволинейным направляющим К и m.

Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-

проецирующей плоскости параллелизма a. Поверхность коноида (рис. 78) формируется при движении прямолинейной образующей L по двум направляющим, одна из которых прямая линия m, другая кривая линия К. Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-проецирующей плоскости параллелизма a.

Поверхность гиперболического параболоида (рис. 79) формируется при

движении прямолинейной образующей L по двум прямолинейным

направляющим m и n, на рис. 79 плоскостью параллелизма гиперболического

параболоида является фронтальная плоскость проекций П2.

Построение линии пересечения поверхностей способом секущих плоскостей. При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения. Сущность метода состоит в том что в качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, которые могут занимать общее положение в пространстве, быть проецирующими или плоскостями уровня. Наиболее широко используются плоскости уровня – фронтальные и горизонтальные. Чаще всего плоскости пересекают заданные поверхности по прямым и окружностям частного положения, поэтому построение их проекций не вызывает особых затруднений.

Способ вспомогательных секущих сфер.

Основу способа вспомогательных секущих сфер составляют особенности взаимного пересечения так называемых <соосных поверхностей вращения>. К ним относятся поверхности, оси вращения которых совпадают, то есть несколько поверхностей имеют одну и туже ось вращения. Сущность применения способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения состоит в том, что каждая из заданных поверхностей вращения пересекается одной и той же вспомогательной сферой. При пересечении вспомогательной сферы с каждой из заданных поверхностей вращения образуются окружности. Точки пересечения полученных окружностей являются общими для обеих поверхностей вращения и поэтому принадлежат линии взаимного пересечения этих поверхностей. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. В зависимости от расположения осей пересекающихся поверхностей вращения относительно друг друга применяются две разновидности способа вспомогательных секущих сфер. Если оси поверхностей пересекаются, то применяется способ вспомогательных концентрических секущих сфер, то есть сфер, проведенных из одного общего центра. Центром проведения таких сфер является точка пересечения осей вращения заданных поверхностей. Если же оси поверхностей параллельны друг другу или являются скрещивающимися, то применяется способ вспомогательных эксцентрических сфер. В этом случае вспомогательные секущие сферы проводят из разных центров.

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение. Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.Теорема 2.(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

Развертка поверхностей. Свойства разверток. Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.

Развертки поверхностей. Приближенные и условные.В качестве примера приближенной развертки наклонного цилиндра при построении приближенных разверток наклонных цилиндрических поверхностей применялся способ аппроксимирующих призм, при котором данную цилиндрическую поверхность заменяют вписанной в нее поверхностью n – гранной призмы. Затем строится развертка призмы с предварительным преобразованием ее ребер в линии уровня. Соединив вершины на развертке плавными кривыми, получаем искомую приближенную развертку боковой поверхности цилиндра.Для неразвертываемых поверхностей строят условные развертки. В отличие от точных и приближенных разверток, условные могут представлять собой фигуры с вырезами (разрывами).В работе рассматривались два способа развертки сферы. В первом случае сфера разбивалась меридианами на n – частей (лепестков), а во втором – параллелями на n – поясов. Аналогично строится условная развертка любой другой поверхности вращения.Построение разверток является важным технологическим этапом на производствах, связанных с листовыми материалами, таких как легкая, нефтехимическая, газовая отрасли промышленности, судостроение, авиастроение и т.д. Развертки изделий строятся, как правило, на стадии их проектирования.