Теоретическая механика (лекции) (стр. 2 из 4)

- Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки.

- Докажем достаточность этих условий:

Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* ¹0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.

Потребуем выполнения усл-я R*cosa=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии.

На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил:

åМ_А(Fk)=0 åМ_В(Fk)=0, АВ не параллельна F₁, F₂, F₃,…,F_n

Теорема Вариньона:

Момент равнодействующей отн-но кокой-либо точки равен сумме моментов, составляющих данную равнод.сил относит-но того же центра.

{F₁,F₂,…, F_n}~R*, {F₁,F₂,…, F_n , -R*}~0, åМ_о(Fk)= М_о(R*)

Произволь.плоская система сил. Частный случай приведения произволь.плоской сист.сил.

Плоск.сист.сил хар-ся тем, что гл.вектор и гл.момент перпендикулярны др.другу: Lo^R.

Частные случаи:

1.Гл.момент Lo=0; R¹0 – в этом случае система сил приводится к равнодействующей, причем R*=R. Если центр приведения лежит на линии действия силы R, то ситуация не изменится и сист.сил опять будет приводится к равнодействующей.

2.Пусть Lo¹0; R¹0. Покажем, что в этом случае сист.сил можно привести к равнодействующей.

R=R₁=R₁’; [L_o] ~{R₁;R₁’}; {R₁;R₁’}~0; причем повернем эту пару сил так, чтобы R и R₁ лежали на одной прямой, тогда видим, что сист.сил {R₁;R₁’}~0

{R;L_o}~ {R=R₁=R₁’}~{R₁’}. D=L_o/R.

3.Пусть R=0, L_o¹0. В этом случае система сил приводится к паре. Причем вне зависимости от вцыбора центра приведения система сил будет приводится к одной и той же паре сил с моментом L_o. Т.к.главный вектор не зависит от выбора центра приведения.

Статически определимые и стат.неопределимые задачи.

Задачи наз-ся стат.определимыми и соответств.этой задаче мех.система наз-ся стат.определимой, если число неизвесных реакций связи не превышает числа ур-й статики, которые можно составить для решения этой задачи.

Задачи наз-ся стат.неопределимыми, если число неизвестных реакций связей превышает число ур-й статики. В теор.механике рассм-ся и решаются только статически определимые задачи.

Ужно заменить неподвижный шарнир на подвижный.

Составные конструкции.

1.Х_А-F₁cosa+X_C=0

2.-X_C’+F₂+X_B=0

Х_А- F₁cosa+ F₂+X_B=0

R_c=R_C’; M_C=M_C’

В РГР: после составления 6 ур-й равновесия проверить правильность найденных реакций связи при помощи ур-я, которое не участвовало в решении.

Распределенная нагрузка

Q=[н/м], l=[м]. Q=òqdx=qòdx=ql

Q(x)=(q/l)x, Q=òq(x)dx=(q/l)òxdx=(q/l)(x²/2)½= (ql)/2.

dQ=q(x)dx, [(ql)/2]b=òq(x) xdx=(q/l) ò x²dx=(q/l)(x³/3)½= (ql)/3.

[(ql)/2]b= (ql)/3Þb=(2/3)l.

Вывод: в общем случае вел-на сосредоточенной силы равна площади распределенной на оси и приложена она в центре тяжести.(Все это касается распределенной нагрузки параллельн.между собой силам).

Сила трения скольжения. Законы Кулона для F_тр.ск.:

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0£ F_тр£ F_мах;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: F_тр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Момент трения качения.

N=P.

М_тр.кач.=dN, d-коэф.трения качения

В динамических ур-ях сила трения скольженич и момент трения качения входят в правые части ур-я. Правило со знаком -.

Конус трения.

Угол a образуется между силой R и N, причем сила R-это равнодействующая силы N и максимальной силы трения.

tga= F_тр/N=f-коэф.трения

Конус, построенный на силе R с углом a наз-ся конусом трения.

Если сила R_А оказывается внутри конуса, то тело нах-ся в равновесии.

Т.о. если какая-то активная сила нах-ся внутри конуса и лежит на его образующей, то тогда тело нахся в равновесии. Если сила R_А нах-ся вне конуса трения, то тогда тело нге может находится в равновесии.

Взаимодействие трения качения и трения скольжения.

Тело нах-ся в равновесии:

dР= М_тр.кач.=rQ,

fP= F_тр=Q

Если Q<(d/r)P (1) , (2) то тоже тело нах-ся в равновесии

1 )Q<(d/r)P,d/r£f тело нах-ся в равновесии

2) Q> (d/r)P , Q>fP в этом случае происходит качение, но без скольжения

3) Q> (d/r)P , Q<fP в этом случае происходит качение со скольжением

4) Q< (d/r)P , Q>fP чистое скольжение

Поскольку в основном выполняется условие 1, то качение наступает быстрее, чем скольжение и поэтому подшипники намного эффективнее, чем скользящие приспособления.

Аналогично моменту трения качения можно ввести момент трения верчения, Коэф-т трения верчения меньше, чем коэя-т трения качения.

Произвольная простр.система сил Частный случай приведения произвольной простр.системы сил. Инвариантная система сил.

Представим себе, что мы привели систему к какому-либо центру 0, что произойдет с сист.сил, если изменить центр приведения на некий новый центр О₁.

L_o-векто свободный

{R’’, R’}~0

R=R’=R’’

M_O1=[O₁O ´R]

L_O1=L_O+[O₁O ´R]= L_O-[O₁O ´R’]

При перемене центра приведения главный вектор сохраняется, а гл.момент меняется на вел-ну момента силы отн-но нового центра приведения.

Инвариантом наз-сятакая вел-на, кот-я не меняется при изменении центра приведения.

Т.о. мы обнаружили 1-й инвариант-это главный вектор.

(L_O1´R)=(( L_O+[O₁O ´R] )R)

(L_O1´R)=( L_O´R)+( [O₁O ´R] R)

(L_O1´R)=( L_O´R)

L_O1´cosa₁= L_O´ cosa -эта запись второго инварианта в др.форме: Проекция главного момента на направление главного вектора величина неизменная.

L_1xR_x+ L_1yR_y+ L_1zR_z= L_xR_x+ L_yR_y+ L_zR_z

Частный случай приведения произвольной плоской системы сил.

1)Приведение системы сил к паре сил

В этом случае L_O¹0, R=0. При изменении центра приведения главный момент не меняется.

2)Система сил приводится к равнодействующей

а)R*=R; L_O=0

Относительно любой точки, лежащей на линии действия равнодействующей система сил всегда будет приводится к равнодействующей R, но отн-но какого-либо др.центра приведения сист.сил уже не будет приводиться к равнодействующей.

Б) L_O¹0 R¹0, L_O^ R.

Покажем, что в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, L_O }~{ R=R’=R*}~{R*}

L_O=Rd

{R, R’}~0

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d от линии дей-я силы R , определяемое по ф-ле: d=L_o/R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на одной прямой.

Случай, когда сист.сил приводится к Динамо

L_O¹0 R¹0, причем L_O не^ R.

L_O1=L_Ocosa;

L_O2=L_Osina; d=L_O2/R

Уравнение динамической оси.

L_О1x/Rx= L_О1y/Ry= L_О1z/Rz-ур-е прямой в простанств.сист.координат

L_О1= L_О +[O₁O ´R]

L_О1= L_О +[OO₁ ´R’]

[L_Оx+(y Rz -z Rx]/ Rx=[L_Оy+(z Rx -x Rz]/ Ry=[L_Оz+(x Ry -y Rx]/ Rz –уравнение динамической линии(ур-е прямой на которой выполняется динамо)

[L_Оx+(y Rz -z Ry]/ Rx=[L_Оy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[L_Оz+(x Ry -y Rx]/ Rz

i j k

x y z

Rx Ry Rz

[L_Оx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[L_Оy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[L_Оz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz

Равнодействующая 2-х параллельных сил,направл-х в одну сторону

R*=F₁+F₂

F₁/F₂ =а/в, F₁´а= F₂´в

М_R*(F₁)=- М_R*(F₂); L_O-гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор = сумме всех сил и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра. Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в одну сторону (лежит) и проходит между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F₂> F₁ , R*= F₂- F₁, F₁/F₂ = а/в, F₁/а= F₂/в=( F₂- F) /в-а, F₁´в= F₂´а, М_с (F₂)= Мс(F₁);

Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х в разные стороны, лежит за линией действия большей силы, равна по модулю разности двух этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части, обратно пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х сил.

R*=låF_i,

На основании теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же центра

М_о (R*)= åМ_о F_к,

[r_c´R*]= å[r_к ´F_к]

[r_c´(åF_i)l] - å[r_к ´F_кl]=0

[(åF_ir_c - åF_kr_k) ´l]=0

Т.к. вектор l отличен от 0, то из этого соотношения следует, поскольку вектор l выбирают произвольно, то r_cåF_к- åF_kr_k=0 Þ r_c=(åF_kr_k)/ åF_к формула нахождения центра тяжести.

Нахождение центров тяжести

r_c=(åР_kr_k)/ åР_к –ф-ла нах-я ц.т.

Р₁=m₁g; P_k=m_kg; P_n=m_ng.

r_c=(åm_kr_k)/ M–ф-ла нах-я ц.т.

M=åm_k