Система автоматического регулирования температуры клея в блокообрабатывающем агрегате бесшвейног (стр. 8 из 11)

z² + a₁z + a₀ = 0, (2)

должны располагаться внутри единичной окружности, график которой показан на рис. 4.6.1. На этой окружности вещественная точка 1 соответствует границе апериодической устойчивости (z = 1), вещественная точка 2 — границе колебательной устойчивости с периодом колебаний T_k = 2T_M (z = –1), а комплексные дуги 3 соответствуют границам колебательной устойчивости с периодом колебаний T_k > 2T_M (modz = 1).

Рис. 4.6.1. Область устойчивости цифровой системы управления
на комплексной плоскости Z

Граница апериодической устойчивости, при z = 1 в характеристическом уравнении:

.

Границу колебательной устойчивости с периодом колебаний Т_к = 2Т_м можно получить, положив z = -1:

.

Колебательную границу устойчивости при Т_к > 2Т_м можно найти, приняв mod z = 1.

Запишем для этого комплексные значения корней:

. (3)

Тогда модуль будет равен:

, (4)

или

Отсюда имеем уравнение границы устойчивости:

.

Уравнения границ устойчивости образуют на плоскости {

, } треугольник устойчивости.

Рис.4.6.2. Область устойчивости цифровой системы на плоскости параметров а₁ и а₀.

Переходная характеристика системы будет апериодической, если выполняются условия:

(5)

Отсюда получим график границы апериодической устойчивости:

при a₁<0.

Область апериодической настройки цифровой САУ выделена на рис.4.6.2 штриховкой.

ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой системы управления

Расчет переходной характеристики цифровой системы управления следует производить по рекуррентной формуле:

, (6)

при следующих начальных условиях:

,

, где =1.

Частота дискретизации:

рад/с

Дискретная передаточная функция:

(7)

Дискретная передаточная функция ПИ-регулятора:

(8)

Дискретная передаточная функция разомкнутой СУ:

(9)

Частотные характеристики цифровой СУ:

(10)

(11)

(12)

На рис.4.6.3 и 4.6.4 показаны графики логарифмических амплитудно-частотных характеристик цифровой системы с графиком ЛАЧХ непрерывной системы, и графики ЛФЧХ цифровой и непрерывной СУ.

Рис.4.6.3. График ЛФЧХ цифровой и непрерывной СУ технологическим объектом.

Рис.4.6.4. График ЛАЧХ цифровой и непрерывной СУ технологическим объектом.

4.7. Исследование устойчивости системы для Tm1=Tm, Tm2=5Tm, Tm3=10Tm, Tm4=20Tm.

1. Tm1=Tm

(1)

(2)

(3)

(4)

Рис.4.7.1. Положение точки [а₁₁;а₀₁] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m1=T_m

2. Tm2=5Tm

1/с

(5)

(6)

(7)

(8)

Рис.4.7.2. Положение точки [а₁₂;а₀₂] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m2=5T_m

3. Tm3=10Tm

1/с

(9)

(10)

(11)

(12)

Рис.4.7.3. Положение точки [а₁₃;а₀₃] на плоскости параметров цифровой системы управления при Т_m3=10T_m

4. Tm4=20Tm

1/с

(13)