Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках (стр. 2 из 12)

_Hh= _H, (2)

где

_Н- норма в пространстве функций, определенных на отрезке, которому принадлежит решение.

Условие (2) называют условием согласования в пространствах H_h и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток

w_h={x_i=i∙h} на отрезке 0≤x≤1.

1. Норма

_Hh=

удовлетворяет условию (2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой

_H= , H=[a,b],

а сеточную функцию определять в виде (2), т.е.

y_h(x)=u_h(x), x

w_h

2. Норма

_Hh=

удовлетворяют условию (2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой

_H= u²(x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

y_h=u_h(x), x

w_h.

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

- правая разностная производная; (3)

- левая разностная производная; (4)

- центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h₀,x+h₀) точки х, h<h₀,h₀- фиксированное число.

Подставляя это разложение в (3),(4),(5), получим:

Отсюда видно, что

Пусть L- дифференциальный оператор, L_h- разностный оператор, заданный на сетке w_h. Говорят, что разностный оператор L_h:

1) аппроксимируем дифференциальный оператор L в узле x_i

w_h, если

, где v(x)- достаточно гладкая функция, стремится к нулю при h→0;

2) аппроксимируем L с порядком n >0 в узле x_i

w_h если , т.е.

, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор

.

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая

, имеем

Отсюда

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

так как

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), x

G (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), x

Г. (9)

Введем в области

Г сетку

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

L_hy_h=f_h, x

w_h, (10)

L_hy_h=ц_h, x

г_h. (11)

Функция y_h(x), f_h(x), ц_h(x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций {y_h}, {f_h}, {ц_h}, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

, 0<x≤1, л = const

.

Используем аппроксимации:

;

.

После этого имеем разностную схему:

Расчетный алгоритм имеем вид

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши.

Воспользуемся следующими аппроксимациями:

После этого имеем разностную схему

1.5 Корректность разностной схемы

Пусть имеем дифференциальную задачу

, (12)

(13) и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой

(14)

(15)

Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей

т.е.

_H ≤ M₁∙ _H +M₂∙ _H.