Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках (стр. 5 из 12)

Пример Пусть

вычисляем по формуле (5)

Действительно

II вариант

Можно использовать другой подход:

,

,

,

,

, .

a)

, q<1 - убывающая геом. прогрессия n и q-задаем сами.

в)

, q>1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка

.

2) Квазиравномерная сетка (

…).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии

.

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии

.

5) Среднеарифметический метод 3) и 4)

.

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

(1)

удовлетворяющий начальным условиям

(2)

и граничным условиям:

(3)

Входные данные:

1)

l=1, T=1

точное решение:

2)

точное решение:

3)

точное решение:

4)

точное решение:

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p₀>0, p_N>0) или p(x,t)<0, (p₀<0, p_N<0). На практике часто используют схему бегущего счета. В зависимости от знака функции p(x,t) используют правую или левую разностные схемы.

Итак, рассмотрим схему бегущего счета в обоих случаях.

1) p(x,t)>0, (p₀>0, p_N>0)

Разностная схема (правая) имеет вид

; (1′)

; (2′)

; (3′)

из (1′)

,

где

.

2) p(x,t)<0, (p₀<0, p_N<0)

В этом случае используется левая разностная схема

; (1″)

; (2″)

; (3″)

из (1′)

,

где

.

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

-------------kogda p0>0, pN>0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.10039200	0.10004559	0.00034641
1	0.10731313	0.10694264	0.00037049
2	0.11471141	0.11431517	0.00039623
3	0.12261970	0.12219596	0.00042375
4	0.13107319	0.13062004	0.00045315
5	0.14010945	0.13962487	0.00048458
6	0.14976865	0.14925048	0.00051817
7	0.16009374	0.15953968	0.00055407
8	0.17113063	0.17053820	0.00059243
9	0.18292837	0.18229495	0.00063342
10	0.19553941	0.19486220	0.00067721
11	0.20901984	0.20829583	0.00072401
12	0.22342957	0.22265555	0.00077402
13	0.23883258	0.23800523	0.00082736
14	0.25528740	0.25441310	0.00087431
15	0.27195211	0.27195211	0.00000000

Таблица 2. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)

-------------kogda p0<0, pN<0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14242453	0.14232757	0.00009697
2	0.13785337	0.13766151	0.00019185
3	0.13343317	0.13314843	0.00028474
4	0.12915902	0.12878331	0.00037571
5	0.12502613	0.12456129	0.00046484
6	0.12102988	0.12047768	0.00055219
7	0.11716580	0.11652796	0.00063785
8	0.11342959	0.11270772	0.00072187
9	0.10981705	0.10901272	0.00080434
10	0.10632415	0.10543886	0.00088530
11	0.10294698	0.10198216	0.00096483
12	0.09968176	0.09863879	0.00104298
13	0.09652483	0.09540502	0.00111981
14	0.09347266	0.09227727	0.00119539
15	0.09052183	0.08925206	0.00126976

Текст программы смотри в приложении 1

2.3 Неявные схемы

В отличие от явной схемы неявные схемы используются для задачи (1) – (3) во всех случаях 1) p₀>0, p_N>0; 2) p₀<0, p_N<0; 3) p₀>0, p_N<0; 4) p₀<0, p_N>0.

Рассмотрим 2 различные разностные схемы:

1) Центрально- разностная схема.

2) Трехточечная схема с весом.

Все эти схемы решаются методом прогонки и все эти разностные уравнения, т.е. полученные при аппроксимации схемы, вернее, уравнения сводятся к виду:

(4)

Коэффициенты A_i, B_i, C_i должны удовлетворять условиям:

(5)

Коэффициенты B₀ , C₀ , F₀, A_N ,C_N ,F_N находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x,t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты. Рассмотрим все 4 случая:

1) p₀>0, p_N>0, u(l,t)=м₂(t), (3′)

из уравнения (3′)

A_N ,C_N ,F_N .

B₀ , C₀ , F₀ находятся из дополнительного условия, которая ставится на левом конце.

2) p₀<0, p_N<0, u(0,t)=м₁(t), (3″) из уравнения (3″)

B₀ , C₀ , F_0.

A_N ,C_N ,F_N находятся из дополнительного условия, которая ставится на правом конце.

3) p₀<0, p_N>0, u(0,t)=м₁(t), u(l,t)=м₂(t), (3″′)