Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках (стр. 1 из 12)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова
Институт математики и информатики
Кафедра прикладной математики
Дипломная работа
“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”
“Специальность 010501.65-
Прикладная математика и информатика”
Специализация “Математическое моделирование”
Едисеева Зоя Никитична
Научный руководитель: Охлопков Н.М
к.ф-м.н. профессор
Рецензент: Николаев Владимир Егорович
к.ф.-м.н., доцент
Якутск 2009
Содержание
Введение
Глава I. Основные понятия разностных схем
1.1 Сеточная область
1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций
1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов
1.4 Разностная схема
1.5 Корректность разностной схемы
1.6 Аппроксимация и сходимость
1.7 Неравномерная сетка
1.7.1 Построение сеточной области
1.7.2 Формирование сетки
Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами
2.1 Постановка задачи
2.2 ”Явные” схемы
2.3 Неявные схемы
2.3.1 Центрально-разностная схема
2.3.2 Трехточечная схема с весом
Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами
3.1 Постановка задачи
3.2 Схема бегущего счета
3.3 Неявные схемы
3.3.1 Центрально-разностная схема
3.3.2 Трехточечная схема весом
3.3.3 Схема “прямоугольник”
3.3.4 Схема со сглаживанием
3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием
3.3.6 “Шахматная ” схема
Заключение
Использованная литература
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Введение
Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.
В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).
Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:
1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.
2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.
От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.
Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.
Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.
Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
- рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;
- выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.
Глава I. Основные понятия теории разностных схем
Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.
Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.
Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.
1.1 Сеточная область
Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0≤x≤1}. Разобьем этот отрезок точками xi=i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек xi=i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим
={xi=i∙h, i=0,n} , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками xi, i=0,n можно производить произвольным образом - 0<x1<…<xn-1<1. Тогда получаем сетку ={xi, i=0,n, x0=0, xn=1} c шагами hi=xi-xi-1, которое зависит от номера узла сетки. Если hi≠hi+1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают ŵ 
. Точки x0 и xn назовем граничными узлами и обозначим их гh. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их wh. Узлы соседние с граничащими назовем приграничными. Тогда имеем 
=wh 
гh. 1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций
Функция y=y(xi) дискретного аргумента xi называется сеточной функцией, определенной на сетке
. Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т. е. y=y(xi)=y(i). Далее мы будем писать y(xi)=yi.Сеточная область wh зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции yh(x) зависят от параметра h.
Функции u(x) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций yh(x) образует пространство Hh. Таким образом, в методе сеток пространство H, заменяется пространством Hh сеточных функций yh(x).
Так как рассматривается множество сеток {wh}, то мы получаем множество {Hh} пространств сеточных функций, определенных на {wh}.
Пусть u(x) - решение исходной непрерывной задачи
Lu(x)=f(x), (1)
; yh- решение разностной задачи, 
. Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(x) и yh(x), но u(x) и yh(x) являются элементами из различных пространств. Пространство H отображается на пространство Hh. Каждой функции 
ставится в соответствие сеточная функция yh(x), x 
wh, так что yh=Phu Hh, где Ph- линейный оператор из H в Hh. Это соответствие можно осуществить различными способами, т. е. зависит от выбора оператора Ph. Теперь, имея сеточную функцию uh, образуем разность yh-uh, которая является вектором пространства Hh. Близость yh и uh характеризуется числом 
yh-uh 
Hh , где 
Hh – норма на Hh.Соответствие функций u(x) и uh можно установить различными способами, например,
uh=u(x), x
wh.В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.
В линейном пространстве Hh введем норму
Hh, которая является аналогом нормы Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве Hh так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие