Этапы развития логики как науки и основные направления современной символической логики (стр. 11 из 16)

Таблица 3

x	у			^ y	x→( ^y)	(x→ ( ^у)) →
1	1	0	0	0	0	1
1	1/2	0	1/2	1/2	1/2	1/2
1	0	0	1	0	0	1
1/2	1	1/2	0	0	1/2	1
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2	1	1/2
1/2	0	1/2	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0	1/2	1	1/2	1/2	1	1
0	0	1	1	0	1	1

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение 1/2, то в логике

Лукасевича и в двузначной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности –1/2, то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича.

Трехзначная система Гейтинга

В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся: 1)

→х; 2) х

. Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, нидерландский логик и математик А. Рейтинг (1898-1980) разработал трехзначную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. “Истина” обозначается 1, “ложь” - 0, “неопределенность” -1/2. Тавтология принимает значение 1.

Импликация Гейтинга

x \ y	1	?	0
1	1	?	0
?	1	1	0
0	1	1	1

Отрицание Гейтинга

x	Nx
1	0
?	0
0	1

Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значении аргументов.

Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики.

этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х → у) → (

), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (x

)- тавтологии.

Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Рейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.

т-значиая система Поста (Рт )1

Система американского математика и логика Э. Л. Поста (1897- 1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1, 2, ..., т (при т

2), где т -конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т - 1, включая их самих.

Пост вводит два вида отрицания (N1x и N2х) соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

1. [N1x]=[x]+1 при [х]

т-1.

2. [N1m]=1.

Второе отрицание определяется одним равенством:

[N 2 x]=m-[x]+1

Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.

Этапы развития логики как науки и основные направления современной символической логики

X	N 1x	N 2 x
1	2	m
2	3	m – 1
3	4	m –2
4	5	m – 3
.	.	.
.	.	.
.	.	.
m – 1	m	2
m	1	1

Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не являются тавтологиями.

Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при m = 3: первое отрицание обозначается через ( ~ 3 р ), второе отрицание - через (

3 р ), конъюнкция через (р.3 р), дизъюнкция - через

рv3 р), импликация - через (р

3 q), эквиваленты - через ( р 3 q ).

р	~3 p	?3 p
1	2	3
2	3	2
3	1	1
Пояснения	Первое отрицание	Второе отрицание

q \ p	р.3q			рv3q					р 3q				р 3 q .
	1	2	3		1	2	3			1	2	3		1	2	3
1	1	2	3		1	1	1			1	2	3		1	2	3
2	2	2	3		1	2	2			1	2	2		2	2	2
3	3	3	3		1	2	3			1	1	1		3	2	1
Пояснения	max(p,q)			min(p,q)				( 3 р) v3q					(р 3q)^3(q p)

Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 “истина” и 3 “ложь”, то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.