Свойства бесконечной величины. Различие актуальной и потенциальной бесконечности (стр. 5 из 9)

Конечная величина не может стать бесконечной путем постепенного возрастания. Вот такого рода конечностью, могущей возрастать без предела, но никогда не могущей превратиться в актуальную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Она может возрастать без предела, потому что не имеет предела создавшее ее бесконечное всемогущество Бога.

Николай Кузанский разработал теорию о бесконечном и доказал ее математически. Он выявил, что свойство бесконечного числа к беспредельному увеличению превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур есть единое. Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного. Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей.

Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанский - средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер - оно есть "умудренное неведение".

Больцано "Парадоксы бесконечного"

В1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано "Парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности.

Б. Больцано признавал существование бесконечной величины, изучал ее и пришел к выводу: "Само название показывает, что бесконечное противопоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного указывает, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части (такой частью является понятие о простом отрицании). Оба эти понятия относятся к многообразиям, к количествам (т.е. к многообразиям единиц), а потому и к величинам, этого нельзя отрицать уже по той причине, что именно в математике, т.е. в науке о величинах, мы и говорим чаще всего о бесконечном, рассматривая конечные и бесконечные множества и делая предметом нашего исследования и даже вычисления, наряду с конечными, не только бесконечно большие, но даже и бесконечно малые величины. Я буду называть бесконечным количеством количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его. Величина, которая больше, чем любое число тех которые приняты за единицу, называется бесконечно большой. А величина столь малая, что каждое кратное ее оказывается меньше единицы, называется бесконечно малой. Кроме этих двух родов бесконечного и кроме выводимых из них родов бесконечно больших и бесконечно малых величин высшего порядка, которые вытекают все из того же понятия, не существует для него ничего бесконечного.

Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля и его последователей. Они называют его презрительно плохим бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое, истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге и вообще в абсолюте. Если они, как Гегель, Эрдман и другие, представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании (что принимается некоторыми математиками за определение этого понятия), - то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности. Действительная бесконечная величина, например, длина целой прямой, неограниченной с обеих сторон (т.е. величина протяжения, заключающего все точки, которые определяются только выражаемым в понятиях отношением к двум данным точкам), не должна быть переменной, чего и нет на самом деле в приведенном здесь примере.

Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой либо предмет, которому он был бы вправе приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете, в каком-либо отношении, бесконечной величины или бесконечного количества. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге, которого мы рассматриваем как всесовершенно единое, можно указать такие точки зрения, с которых мы видим в нем бесконечное количество, и что эти-то точки зрения и позволяют приписывать ему бесконечность, то вряд ли нужно доказывать дальше, что подобные соображения лежат также в основе всех остальных случаев, где правильно употребляется понятие о бесконечности. Я же говорю: мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны признать, что он владеет силами более, чем одного рода, имеющими бесконечную величину.

Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также и к бесконечно большой, еще другие величины, и не только конечные, но даже и бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное число раз и т.д. Если некоторые и спорят еще о том, законно ли это, то какой математик - если только он не отрицает все бесконечное - откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны, но простирающейся в бесконечность с другой, бесконечна, и может быть, несмотря на это, увеличена прибавлениями с первой стороны.

"Если каждое число", можно сказать, "по самому понятию о числе, есть лишь простое конечное множество, то каким образом может быть бесконечным множество всех чисел?

Когда мы рассматриваем ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

то мы замечаем, что множество чисел, которое содержит этот ряд, начиная с первого (единицы), до какого-нибудь другого, например, до числа 6, выражается всегда этим последним числом. Поэтому множество всех чисел должно быть именно так велико, как последнее из них и, следовательно, само должно быть числом, а не бесконечностью. Обманчивость этого вывода исчезает тотчас же, как только мы вспомним, что во множестве всех чисел в натуральном ряду нет последнего числа, что таким образом понятие о последнем (высшем) числе - понятие беспредметное, потому что содержит противоречие. Ибо, по закону образования этого ряда, данном в его определении, каждый член ряда имеет последующий. Одним этим замечанием разрешается уже этот парадокс.

Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых величинах, если под бесконечно большой величиной подразумевается лишь такая величина, которая при раз положенной в основание единице является целым, по отношению к которому каждое конечное множество этих единиц составляет только часть; а под бесконечно малой величиной подразумевается такая, по отношению к которой сама единица является целым, частью которого будет каждое конечное множество этих величин. Множество всех чисел является неоспоримым примером бесконечно большой величины. Я говорю: величины, а не бесконечно большого числа, потому что, как мы уже заметили в предыдущем параграфе, никак нельзя назвать числом это бесконечно большое множество. Если же величину, бесконечно большую по сравнению с другой величиной, взятой за единицу, мы примем за единицу и станем ею измерять ту величину, которую мы прежде принимали за единицу, то эта последняя представится нам бесконечно малой.

И что не следует считать равными между собой все бесконечные многообразия в отношении их множественности? Напротив, некоторые из них больше, другие меньше, т.е. одно бесконечное многообразие может заключать в себе другое, как часть (или, наоборот, может само составлять часть другого). Для кого, например, не будет ясно, что длина прямой, простирающейся безгранично в направлении aR, бесконечна, но что прямая bR, из точки b идущая в том же направлении, больше, чем aR на отрезке ba? и, наконец, что прямая, идущая неограниченно в обоих направлениях aR и aS, должна быть названа большей на величину, которая сама бесконечна, и т.д.

Два бесконечных многообразия могут быть в таком отношении одно к другому, что, с одной стороны, возможно соединить каждую вещь одного многообразия с некоторой вещью другого в пару таким образом, что не останется в обоих многообразиях ни одной вещи, не соединенной в пару, и ни одна вещь не будет входить в две или несколько пар. С другой стороны, возможно при этом, что одно из этих многообразий заключает в себе другое просто как часть, так что множества, которые они представляют, если рассматривать составляющие их вещи как равные, т.е. как единицы, имеют между собой самые разнообразные отношения.

Я обращаюсь теперь к утверждению, что существует бесконечное не только среди вещей, не имеющих действительности, но также и в самой области действительного. Есть существо бесконечное не в одном только отношении, в своем ведении, в своей воле, в своем внешнем воздействии, т.е. могуществе. Это такое существо, которое бесконечно много знает (совокупность всех истин), бесконечно многого желает (сумму всего в себе возможного добра), и все, чего только хочет, силою внешнего воздействия осуществляет в действительности. Из этого последнего свойства Бога вытекает дальнейшее следствие, что, кроме него, существует существа созданные, которые мы назовем, в противоположность ему, существами конечными, в которых, однако, можно усмотреть нечто бесконечное. В самом деле, уже самое многообразие этих существ должно быть бесконечным; точно так же многообразие состояний, испытываемых каждым из этих существ в отдельности, хотя бы в самое короткое время, должно быть бесконечно (потому что каждый промежуток времени содержит в себе бесконечно много мгновений) и т.д. Итак, и в области действительного мы встречаем везде бесконечное.