Математические методы экономики (стр. 21 из 22)

Название "норма процента" для темпа снижения

принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента , где R0 - сумма начального вложения, Rn - получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента. Так как в определении 6.3 речь идет о снижении, то "норма процента" в (6.4.11) входит с отрицательным знаком ( ).

Из равенства (6.4.10) получаем

где

- цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность

называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (6.4.10) и (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), получаем ее "стационарную" форму:

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

http://www.csu.ac.ru/%7Erusear/ME_Ruda/Chapter6/def6.4.Определение 6.4. Четверка

, где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а и - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (6.4.8).

Сделаем следующие предположения:

а)

в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что ;
г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что ;
д) для каждого t .

Теорема 6.4. Если выполнены условия а)-д), то в модели Неймана (6.4.8) существует состояние равновесия.

Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д) имеет чисто техническое предназначение.

Определение 6.5. Число

называется максимальным темпом сбалансированного роста, а число

называется минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа

и существуют и равны между собой:

если только начальные точки y0 и p0 также удовлетворяют этому равенству.

Траектория производства

, удовлетворяющая условиям (6.4.13) при и и соответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. , называется траекторией равновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью). Поскольку эту траекторию можно представить в виде , где , то ее еще называют лучом Неймана а цены (6.4.12), соответствующие минимальной норме процента , называют неймановскими ценами .

В математической экономике магистралью называется траектория экономического роста, на которой пропорции производственных показателей (такие как темп роста производства, темп снижения цен) неизменны, а сами показатели (такие как интенсивность производства, валовый выпуск) растут с постоянным максимально возможным темпом. Таким образом, магистраль - это траектория или луч максимального сбалансированного роста. Ее часто сравнивают со скоростной автострадой. Так, например, для того чтобы добраться из Кемерово в Киселевск как можно быстрее, наиболее целесообразно сначала проехать по автостраде Кемерово-Новокузнецк, а затем уже съехать на ответвляющуюся от нее дорогу в районе Киселевска. Так мы потеряем на дорогу меньше времени и доедем до конечного пункта с большим комфортом, чем если бы мы ехали по обычному шоссе через Ленинск-Кузнецкий и Белово.

Поскольку "оптимальное" или "эффективное" развитие экономики в любом смысле так или иначе связано и должно сопровождаться экономическим ростом, то для достижения любой конечной цели следует поступать аналогичным образом: сначала вывести производство на магистральный путь, т.е. на траекторию (или луч) Неймана, характеризующуюся максимальным темпом роста

и минимальной нормой процента (см. (6.4.14)), а по истечении определенного срока времени вывести ее к задуманной цели. Такими целями могут быть максимизация прибыли, минимизация затрат, максимизация полезности от потребления товаров, достижение конкурентного равновесия при наиболее благоприятных условиях, т.е. на более высоком уровне благосостояния населения, и т.д.

Итак, с одной стороны мы имеем магистральные модели, а с другой - оптимизационные или еще шире - нормативные модели экономики. Изучение этих двух моделей во взаимосвязи, т.е. изучение связи между магистральными и оптимальными (в том или ином смысле) траекториями и является предметом магистральной теории. Можно говорить, что магистральная теория является одним из средств качественного анализа оптимальных траекторий. Основной целью этой теории является исследование условий так называемых "слабой" и "сильной" теорем о магистралях. Слабая теорема утверждает, что за исключением некоторого малого периода

(или некоторого числа дискретных моментов из ), не зависящего от продолжительности T планового периода, все оптимальные траектории сосредотачиваются в относительной близости к магистральной траектории. Сильная теорема говорит о том, что те небольшие промежутки времени , на которых оптимальные траектории удалены от магистральной, если они существуют, то разве лишь в начале периода , т.е. , или в конце периода , т.е. ; а в середине периода оптимальные траектории расположены в относительной близости к магистральной.

В общем случае в моделях экономической динамики даже при неизменности технологических возможностей утверждения теорем о магистрали не выполняются. Для их выполнения приходится вводить различные дополнительные предположения о свойствах исходной модели экономики. Другой путь состоит в изучении реальных отраслевых пропорций и сравнении их с магистральными. Благодаря техническому прогрессу и изменчивости во времени общественных предпочтений различных благ, реальное состояние экономики при детальном (дезагрегированном) ее описании всегда значительно отличается от магистрального. В то же время, как показывают полученные в этом направлении результаты исследований, при высоком уровне агрегирования экономические пропорции близки к магистральным.

Модель общего экономического равновесия в долгосрочном периоде. Факторы валового национального продукта (ВНП) и его представление при помощи производственной функции макроэкономического анализа. Распределение ВНП по факторам производства. Функция потребления.

Ценность моделей МОБа для анализа макроэкономического равновесия велика, так ведущие факторы и показатели экономики, в частности: сферы и сектора; валовой выпуск; валовой национальный продукт; промежуточный продукт; национальный доход; все национальные потоки; импортно-экспортные связи.