4. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Начальная школа. Решение простейших уравнений (типа: 4х=28, х+6=9) на основе зависимостей между компонентами арифметических действий. Первые представления о переводе текстовой задачи на язык уравнений.
5-6 классы. Линейные уравнения и текстовые задачи, сводящиеся к линейным уравнениям ( на языке математического моделирования: составление математической модели, работа с составленной моделью, осмысление полученного результата применительно к условиям - получение ответа на вопрос задачи ).
7 класс. Линейные уравнения и текстовые задачи ( постоянное повторение курса 5-6 классов по мере продвижения в материале 7 класса). Системы линейных уравнений с двумя переменными и их использование в качестве математических моделей реальных ситуаций. Методы решения систем: графический, подстановка, алгебраическое сложение. Первые представления о решении квадратных уравнений (методом разложения на множители и графическим методом).
8 класс. Решение линейных неравенств (на основе свойств числовых неравенств). Квадратные уравнения и неравенства. Рациональные уравнения. Решение текстовых задач. Иррациональные уравнения (с квадратными корнями). Понятие о посторонних корнях и проверке корней о решении уравнений. Первые представления о равносильности уравнений и неравенств. Первые примеры на решение уравнений и неравенств с параметрами.
9 класс. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений (графический метод, подстановка, алгебраическое сложение, метод введения новых переменных). Системы уравнений, как математические модели реальных ситуаций.
10 класс. Тригонометрические уравнения и неравенства.
11 класс. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений. Обобщение сведений о решении уравнений, неравенств и систем уравнений. Равносильность уравнений и неравенств. Посторонние корни, потеря корней, проверка. Основные методы решения уравнений: графический, разложение на множители, введение новых переменных, переход от уравнения f(u)=f(v) к уравнению u=v. Системы и совокупности неравенств. Решение неравенств с модулями, иррациональных неравенств. Методы решения систем уравнений.
Уравнения и неравенства с параметрами (относительно несложные).
КОНЦЕПЦИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ
ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Основные положения
Пояснения автора: в учебном предмете не обязательно соблюдать законы науки математики (например, такие: все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения требуется доказывать и т.д.), зачастую более существенны законы педагогики и особенно психологии.
В связи с этим поговорим об определениях в школьно курсе математики. Наша позиция: сложное математическое понятие (например, функция, равносильность уравнений и т.п.) следует вводить при выполнении двух условий:
1) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия – опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт) и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);
2) у школьников появилась потребность в формальном определении понятия.
В отличии от сложившихся традиций мы не вводим в 7 классе определение функции, хотя работаем с функциями и в 7, и в 8 классах очень много. И только в 9 классе, проанализировав накопленный учащимися опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, убеждаем их в том, что у них появилась потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции.
В учебном предмете, в отличие от науки, мы не обязаны все доказывать. Более того, в ряде случаев правдоподобные рассуждения или толкования, опирающиеся на графические модели, а интуицию, имеют для школьников более весомую общекультурную ценность, чем формальное доказательство. Если формальные доказательства мало поучительны, они заменяются правдоподобными рассуждениями. Мое кредо – больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше опоры на правое полушарие мозга.
2. Математика в школе – предмет не естественно-научный, а гуманитарный.
Пояснения автора: естественным этапом развития познания, на котором осуществляется переход от содержательного и качественного анализа объекта к формализации и количественному анализу, является математическое моделирование реальных процессов. Математическое моделирование – основа происходящей в настоящее время математизации научных знаний. Поэтому одной из основных задач школьного математического образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального мира и его математическими моделями, практическое их обучение построению математических моделей, объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено все несущественное, позволяет глубже понять суть вещей. Реальные процессы математика описывает на особом математическом языке в виде математических моделей. Главное назначение математического языка – способствовать организации деятельности (тогда как основное назначение обыденного языка – служить средством общения), что в наше время очень значимо для культурного человека. Поэтому математический язык и математическая модель – ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень.
Гуманитарный потенциал школьного курса алгебры мы, во-первых, видим в том, что владение математическим языком и математическим моделированием позволит ученику лучше ориентироваться в природе и обществе; во-вторых, в том, что математика по своей внутренней природе имеет богатые возможности для воспитания его мышления и характера; в-третьих, в реализации в процессе преподавания идей развивающего и проблемного обучения; в-четвертых, в том, что уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы.
Принципы
Приоритетность функционально-графической линии
Математические модели напрямую связаны с функциями, поэтому функции становятся ведущей идеей курса алгебры практически во всех разделах (за исключением первого раздела в 7-м классе, посвященного преобразованиям целых выражений, где закладывается фундамент математического языка, без которого невозможно изучение математических моделей). Реализуемая концепция изучения функций существенно отличается от традиционной. Методология новой концепции заключается в следующем: каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности.
| Класс | Функция | Что моделирует |
| 7 класс | Линейная функция | Равномерные процессы |
| 8 класс | Квадратичная функция | Равноускоренные процессы |
| 10 класс | Тригонометрические функции | Периодические процессы |
| 11 класс | Показательная функция | Процессы органического роста |
Состав учебно-методического комплекта для учителя
Отличительные особенности учебников для 5 и 6 классов
- Подача теоретического материала малыми порциями, в мягкой и доступной форме;
- высокий уровень наглядности (учебники полноцветные);
- насыщенная и разнообразная система упражнений в каждом параграфе;
- использование современных методических представлений – постепенное приучение школьников к таким терминам, как математическая модель и математический язык;
- личностно-ориентированная подача материала, нацеленная на организацию познавательной деятельности учащихся на уроке под руководством учителя и способствующая реализации деятельностного подхода в обучении;
- реализация комбинаторно-стохастической линии (в основном, в игровой форме);
- наличие контрольных вопросов и заданий в конце каждого параграфа;
- наличие в конце учебника текстов домашних контрольных работ по разделам программы.