Еще одна методическая проблема, стоящая перед учителями математики, которую мне, надеюсь, удалось решить, - проблема введения новых, достаточно сложных математических понятий. Обычно такие уроки и для учителя, и для школьника оказываются самыми трудными. Мое психологическое и методическое «ноу-хау» заключается в том, что сложные понятия изучаются сначала на наглядно-интуитивном уровне, потом на рабочем и только в последнюю очередь на формальном…
Вопрос. В отличие от других УМК по математике в вашем комплекте учебник издан отдельно от задачника, чем это вызвано?
Ответ. Разделение учебника и задачника не случайно, оно носит принципиальный характер. И хотя это невыгодно экономически, я иду на него сознательно. Самостоятельность учебника позволяет мне писать его настолько подробно и доступно, чтобы ребенок мог разобраться в тексте сам. Старые учебники, которые издаются более тридцати лет, по сути представляют собой справочники. Они написаны сугубо предметным языком и в основном для учителя. А на уроках математики ребенка надо приучать к самостоятельному чтению, к самостоятельному добыванию информации, но не по справочнику же?
Что касается задачников, то над ними вместе со мной работали авторские коллективы учителей-практиков. Мы стремились сделать задачники избыточными и самодостаточными, чтобы учителю при подготовке к уроку не приходилось обращаться к другим задачникам. Задачники очень четко структурированы, они содержат два базовых уровня – устный и письменный – и два более высоких уровня (выше среднего и повышенной трудности). В каждом блоке однотипных упражнений задания идут с постепенным нарастанием сложности, с добавлением от номера к номеру по одному дидактическому компоненту трудности.
Вопрос. Уже более пяти лет учителя работают по вашим учебникам и задачникам, с какими трудностями, насколько вам известно, им приходится сталкиваться?
Ответ. Мой учебник требует несколько иных форм работы учителя, нежели остальные, и прежде всего обсуждения на уроке того материала, который ребенок прочитал дома. Беседовать о прочитанном, стимулировать ребенка к дальнейшему изучению – это то, чему учителям приходится учиться и что зачастую вызывает у них определенные сложности.
Нет ничего проще и бесполезнее, чем написать на доске тему, определение, доказательство теоремы и задать решение примеров. Но заставить своих учеников разговориться – непросто, а ведь только в самостоятельной речи ребенка рождается настоящее понимание предмета, пусть поначалу эта речь и косноязычна. Но вы можете спросить: а о чем же, собственно, говорить на уроках математики? Тем для разговоров предостаточно – это и происхождение понятий, и то, насколько удалось продвинуться в освоении математического языка, и преимущества графического или формального способа решения. Все это можно найти в моих учебниках. Очень важно выбрать для учителя не только тему для обсуждения, но и найти для этого подходящий момент на уроке. В своих методических пособиях я попытался помочь учителю в этом непростом деле.
Мои учебники предполагают возрастание ответственности учителя за общение с детьми и приучение детей к самостоятельному изучению литературы.
Вопрос. Ваш курс алгебры принципиально отличается от традиционных курсов. Какие учебники математики может использовать учитель в 5-6 классах, чтобы перейти в 7 классе на ваши учебники по алгебре?
Ответ. Чаще всего учителя, начинающие работать в 7 классе по нашим пособиям, используют в 5-6 классах широко распространенные учебники Н.Я. Виленкина и др. Надежную основу для курса алгебры создают также учебники Н.Б. Истоминой, учебники Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон…
Вопрос. В каких классах ваш комплект охотнее всего используют – в математически ориентированных или гуманитарных?
Ответ. Вообще наша линия рассчитана на общеобразовательную массовую школу и ни в коем случае не на нынешние так называемые гуманитарные классы. Я сталкивался с тем, что наши пособия использовались и в математических классах. Просто учителю приходилось добавлять некоторые темы.
Классические же учебники для математических классов написаны моим учителем, покойным Наумом Яковлевичем Виленкиным. Но эти учебники, к сожалению, уже устарели. Сейчас мы начали новый проект по созданию УМК для математических классов; учебник для 8 класса в настоящее время готовится к выходу в свет, завершается работа над соответствующим задачником. По структуре они будут соответствовать нашей общеобразовательной линии, но существенно углубят ее.
В то же время вместе с УМК для общеобразовательной школы, о котором мы сегодня говорили, он будет удобен учителю, который преподает как в обычном, так и в математическом классе в рамках одной школы. Да и ученику, который по каким-либо причинам захочет перейти из одной параллели в другую, будет легче адаптироваться. Другими словами, наш будущий комплект для «углубленки» вкупе с уже действующим общеобразовательным УМК станет хорошим вариантом для профильной школы, о которой сейчас так много говорят.
Журнал «Школьное обозрение», №4 2001 год
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Данная тема в 7 классе изучается первой и занимает ключевое положение во всем курсе алгебры. На ее изучение отводится 9 часов (из расчета – 3 часа в неделю) или 12 часов (из расчета – 4 часа в неделю). Она включает в себя следующие подтемы:
1. Числовые и алгебраические выражения 4 часа (5 часов)
2. Что такое математический язык 2 часа
3. Что такое математическая модель 2 часа (4 часа)
Контрольная работа 1 час
Имеет смысл планировать уроки таким образом, чтобы повторяя материал курса математики 5-6 классов, начинать вводить новые термины: математический язык, математическая модель, не давая им строгого истолкования (эти понятия будут постепенно уточняться и постоянно пополняться новым содержанием, вплоть до 11 класса). Главная забота учителя состоит в том, чтобы школьники привыкли к этим терминам и включили их в свой словарный запас.
Необычна подача теоретического материала по теме «Математический язык».
Математики отличаются от «нематематиков» тем, что, обсуждая научные проблемы, говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест сомножителей произведение не меняется». Слыша это, математик пишет (или говорит): аb =ba.
Говорят, что культурный человек, кроме родного языка, должен владеть хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен еще говорить, писать, думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз убедимся в дальнейшем, «говорит» окружающая действительность. Этому и будем учиться.
Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику.
Рассмотрим следующую таблицу, в которой приведены различные ситуации и их математические модели, при этом х – масса капусты, у – масса картофеля.
| № | Реальная ситуация | Математическая модель |
| 1 2 3 4 5 6 | В магазин привезли поровну картофеля и капусты В магазин привезли картофеля в 2 раза больше, чем капусты В магазин привезли капусты на 100 кг больше, чем картофеля После того, как продали 250 кг капусты, картофеля и капусты стало поровну После того, как продали 250 кг капусты и 368 кг картофеля, картофеля и капусты стало поровну После того, как продали 250 кг капусты, картофеля и стало в 2,2 раза больше, чем капусты | х = у у = 2х или х = у/2 х = у + 100 или у = х – 100 х – 250 = у или х = у + 250 х – 250 = у – 368 (х – 250) * 2,2 = у или х – 250 = у/2,2 |
В данной таблице щли от реальной ситуации к математической модели, но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях) такая математическая модель 2х = у – 29 (это означает следующее: после того, как продали 29 кг картофеля, капусты стало в 2 раза меньше).
Примеры заданий, приводимых в задачнике «Алгебра-7»
Перейти от словесных моделей к математическим:
- произведение чисел х и у равно 9;
- для чисел a, b, c и d: сумма первых двух чисел равна удвоенной разности двух последних.
- Три килограмма яблок стоят столько же сколько 2 килограмма груш. При этом известно, что 1 кг яблок стоит х руб., а 1 кг груш стоит у кг.
- В первой бригаде работает а человек. а во второй - с человек. Если половину членов первой бригады перевести во вторую, то в первой бригаде людей станет меньше на 20 человек.
- Первое число равно z, а второе на 6 больше первого, при этом 1/3 первого числа равна 1/4 второго.
- Первое число равно с, второе число в 1,4 раза больше первого. Если из второго числа вычесть 5,2, а к первому прибавить 4,8, то получатся равные результаты.
- *Разность чисел а и b в 3 раза меньше их частного;
- *Трехзначное число содержит k сотен и m единиц.
Естественно, что возникает вопрос: зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она дает, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.