Методические рекомендации по работе с умк (стр. 5 из 10)

№1. В жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трехкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных.

Решение

Пусть х квартир – трехкомнатные, тогда

(х + 10) квартир – двухкомнатные,

(х – 5) квартир – двухкомнатные.

По условию задачи всего в доме 215 квартир. Составим уравнение:

х + (х + 10) + (х – 5) = 215

3х + 5 = 215

3х = 210

х = 70

70 квартир – трехкомнатные;

70 + 10 = 80 (квартир) – двухкомнатные;

70 – 5 = 65 (квартир) – однокомнатные.

Ответ: 70 квартир, 80 квартир. 65 квартир.

В ходе решения было четкое разделение на 3 этапа:

1 этап: введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, была составлена математическая модель – в виде уравнения х + (х + 10) + (х – 5) = 215.

2 этап: решение уравнения (занятие «чистой» математикой).

3 этап: использование полученного решения для ответа на вопрос задачи.

Подведем итоги: в процессе решения задачи были выделены 3 этапа:

1 этап: составление математической модели.

2 этап: работа с математической моделью (решение уравнения).

3 этап: ответ на вопрос задачи.

Замечание: математические модели бывают не только алгебраические, но и графические (геометрические), аналитические.

№2. Расстояние между городами мотоциклист проехал за 2 часа, а велосипедист – за 5 часов. Скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами

Решение

	скорость (км/ч)	время (ч)	расстояние (км)
мотоциклист	х + 18	2	2(х + 18)
велосипедист	х	5	5х

По условию задачи мотоциклист и велосипедист проехали равные расстояния. Составим уравнение:

2(х + 18) = 5х

2х + 36 = 5х

-3х = -36

х = 12

12 км/ч – скорость велосипедиста

12 + 18 = 30 (км/ч) – скорость мотоциклиста

5 * 12 = 60 (км) – расстояние между городами

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч, 60 км.

Примеры задач, приводимых в задачнике «Алгебра-7».

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

- №109. *На трех полках находится 75 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей – на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке? (глава 1 «Математическая модель. Математический язык)

- №115. *Старинная задача: «Спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников в классе, так как я хочу отдать тебе в ученье своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, то будет у меня 100 учеников». Спрашивается, сколько у учителя учеников?» (глава 1)

- №293. Сумма двух третей неизвестного числа и его половины на 7 больше самого неизвестного числа. Найдите это число. (глава 3 «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»)

- №296. Первое число в 1,5 раза больше второго. Известно, что удвоенное первое число на 24 больше, чем третья часть второго. Найдите эти числа. (глава 3)

Решение

было	стало
первое число	1,5х	2 * 1,5х
второе число	х	1/3х

По условию задачи первое число стало на 24 больше второго. Составим уравнение:

2 * 1,5х – 24 = 1/3х (или 2 * 1,5 х – 1/3х = 24 или 1/3х + 24 = 2 * 1,5х)

3х – 24 = 1/3 х

9х - х = 72

8х = 72

х = 9

9 – второе число

1,5 * 9 = 13,5 – первое число

Ответ: 9 и 13,5.

- №310. *Туристы отправились в трехдневный поход. В первый день они прошли 7/22 всего пути, во второй – 1/3 оставшегося пути, а в третий – последние 25 км. Найдите длину туристского маршрута. (глава 3)

- №312. *Некоторое число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 10%. После этого получили число, которое на 13 меньше первоначального. Найдите первоначальное число. (глава 3)

- №314. *На школьном празднике присутствовали все ученики седьмых классов школы. Шестая часть присутствующих участвовала в викторине, а 2/3 участвовали в концерте. Известно, что все ученики 7а класса (а их 21 человек) участвовали либо в викторине либо в концерте. Ученики 7а класса составили 30% активных участников праздника. Сколько всего в школе учеников седьмых классов? (глава 3)

- №429. *Мастер изготовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6ч, а мастер – 8ч. Вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовлял ученик? (глава 4 «Многочлены. Арифметические операции над многочленами»)

- №434. *Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 1 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через 45 минут расстояние между ними стало равным 7 км. Найдите, какое расстояние между ними будет через 1,5 часа, если расстояние между ними все время увеличивалось? (глава 4)

- №460. *Из четырех чисел второе больше первого на 3, третье больше второго на 5, а четвертое является суммой первого и второго. Найдите эти числа, если известно, что произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвертым числом. (глава 4)

- № 839. В седьмых классах девочек в 1,3 раза больше, чем мальчиков. Сколько всего учеников в седьмых классах, если девочек на 12 больше, чем мальчиков. (глава 6 «Линейная функция»)

- № 843. *Первое число составляет 124% второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 112. (глава 6)

- №1119. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится 1/2, а если из них вычесть по единице, то получится 1/3. Найдите эту дробь. ( глава 8 «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»)

- №1120. *Одно число на 140 меньше другого; 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего. Найдите эти числа. (глава 8)

- №1124. * Путь по морю от города А до города В на 60 км короче, чем по шоссе. Теплоход проходит путь от А до В за 5 часов, а автомобиль – за 3 часа. Найдите скорости теплохода и автомобиля, если известно, что скорость теплохода составляет 40% скорости автомобиля. (глава 8)

- №1136. *Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40. Найдите эти числа. (глава 8)

- №1138. *Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число. (глава 8)

- №1142. * Имеется лом стали двух сортов с содержанием 5% и 40% никеля. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы, сплавив их, получить 140 т стали, в которой содержится 30% никеля? (глава 8)

- №1145. *Какое двузначное число обладает следующим свойством: если между его цифрами поместить цифру 0, то число увеличится в 6 раз? (глава 8)

Примечание: задачи, обозначенные *, находятся в задачнике после черты.

Решение некоторых предложенных задач.

№115. Пусть х учеников у учителя.

По условию задачи, если придет еще столько же и полстолько, и четвертая часть, и еще один ученик, то будет 100 учеников. Составим уравнение

х + х + х/2 + х/4 + 1 =100

х = 36

36 учеников у учителя

Ответ: 36 учеников.

№ 312. Пусть х – первоначальное число, тогда

0,85х + 0,085х – полученное число.

По условию задачи полученное число меньше первоначального на 13. Составим уравнение

0,85х + 0,085х = х – 13

х = 200

200 - первоначальное число

Ответ: 200.

№314. 1) 21 чел. –30%; 21 * 100 : 30 = 70(чел.) – активные участники

2) Пусть х семиклассников в школе.

По условию задачи 1/6 присутствующих участвовала в викторине, 2/3 – в концерте, а всего было 70 активных участников. Составим уравнение

1/6х + 2/3х = 70

х = 84

84 учащихся 7-х классов в школе

Ответ: 84 человека.

№ 434.Пусть х км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода.

По условию задачи через 45 минут расстояние между ними стало равным 7 км. Составим уравнение 3/4х = 7 – 1

х = 8

8км/ч – разность скоростей

8 * 1,5 + 1 = 13 (км) – расстояние между велосипедистом и пешеходом через 1,5 часа

Ответ: 13 км.

№460. Пусть х – первое число, тогда