х + 3 – второе число,
х + 8 – третье число,
2х + 3 – четвертое число.
По условию задачи произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвертым числом. Составим уравнение
х(х + 3) + 74,2 = (х + 8)2 – (2х + 3)
х = 1,2
1,2 – первое число
1,2 + 3 = 4,2 – второе число
1,2 + 8 = 9,2 – третье число
2*1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число
Ответ: 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.
№1120. Пусть х – первое число, у – второе число.
Так как одно число на 140 меньше другого, то составим уравнение х – у = 140. Так как 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего, то составим уравнение 0,6х – 0,7у = 64. Составим систему уравнений
;
.
340 – первое число; 200 – второе число
Ответ: 200; 340.
№1136. Пусть х – первое число, у – второе число.
Так как среднее арифметическое двух чисел равно 185, то составим уравнение (х + у) / 2 = 185. Так как, если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40, то составим уравнение х = 2у + 40. Составим систему уравнений
;
.
260 – первое число; 110 – второе число
Ответ: 110; 260.
№1138. Пусть х – количество десятков, у – количество единиц,
тогда 10х + у – исходное число.
Так как сумма цифр этого числа равна 11, то составим уравнение х + у = 11. Так как, если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2, то составим уравнение 10х+у = (х –у)*24+2. Составим систему уравнений
;
.
7 – количество десятков; 4 – количество единиц; 74 – исходное число
Ответ: 74.
№1142. Пусть х т – масса лома 1 сорта, у т – масса лома 2 сорта,
тогда (х+у) т – масса сплава,
0,05х т – масса никеля лома 1 сорта,
0,4у т – масса никеля лома 2 сорта,
0,3(х+у) т – масса никеля сплава.
Так как масса сплава равна 140 т , то составим уравнение х+у=140. Так как в сплаве содержится 30% никеля, то составим уравнение 0,05х +0,4у=0,3(х+у). Составим систему уравнений
;
.
40 т - масса стали 1 сорта; 100 т – масса стали 2 сорта
Ответ: 40 тонн, 100 тонн.
№1145. Пусть х – количество десятков, у – количество единиц,
тогда 10х+у – исходное число,
100х+у – полученное число.
Так как полученное число в 6 раз больше исходного, то составим уравнение
6(10х+у) = 100х+у
8х = у
Так как х и у – это цифры, то единственное решение последнего уравнения такие: х=1; у=8.
1 – количество десятков; 8 – количество единиц; 18 – исходное число
Ответ: 18.
Понятие модели появляется также при изучении темы «Координатная прямая», а именно, понятие геометрической и аналитической модели. При работе с числовыми промежутками необходимо обратить внимание учащихся на умение переходить от геометрической модели к аналитической модели и к символической записи, а также от аналитической модели – к геометрической модели и к символической записи. Например:
   | открытый луч луч отрезок |    | III. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
Подчеркнем еще раз, что из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры для 7-11 классов в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это прежде всего выражается в том, что какой бы класс функций, уравнений не изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме:
функция – уравнения – преобразования.
Раскроем методические особенности концепции изучений функций, заложенные в программе.
1. Отказ от формулировки определения функции при первом появлении этого понятия.
Ничего страшного в этом нет, о чем свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались и обогащались все новыми и новыми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Так было в теории пределов (до О. Коши), так было и в теории действительных чисел. Действительными числами оперировали многие века, не имея определения, и лишь в конце XIX века появилось сразу несколько вариантов определения действительного числа (Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс, Г. Кантор). Можно строить теорию и при отсутствии определения исходного понятия – во многих случаях это оправдано с методической точки зрения. Определение функции в школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В данной программе это предусмотрено вначале 9 класса.
2. Постепенное введение в программу свойств функции, подлежащих изучению на различных уровнях строгости.
Перечислим те свойства функции, которые на том или ином уровне изучаются в различных разделах школьного курса алгебры: область определения, наибольшее и наименьшее значения, непрерывность (точки разрыва), монотонность, выпуклость, область значений, четность, периодичность, дифференцируемость, ограниченность, экстремумы.
Учителей, естественно, всегда беспокоят 3 вопроса:
- каким из этих понятий нужно дать в школе точное определение, а какие достаточно описать на наглядно-интуитивном уровне;
- как и когда давать то или иное определение;
- если точное определение вводится позже первичного использования понятия, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия?
Главная методическая ошибка – появление указанных свойств функций в более или менее полном объеме практически одновременно. Не следует забывать, что в реальной жизни употребление определенных терминов в речи со смутным их пониманием часто предшествует полноценному пониманию. Поэтому автор считает не только возможным, но и полезным употребление школьниками, начиная с 7 класса таких, например, терминов, как непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значение функции, без знания строгих математических определений этих понятий. В 8 классе на таком же наглядно-интуитивном уровне вводится понятие выпуклости и ограниченности функции.
Почему автор считает необходимым готовить базу для введения формальных определений? С его точки зрения, принципиальная трудность заключается в том, что неокрепший мозг ученика не в состоянии осмыслить наличие в одном определении двух кванторов: квантора общности («для всех», «для каждого», «для любого») и квантора существования («существуют», «для некоторого») – в рамках одного предложения. «Существует» и «для любого» - это для него в определенном смысле противоречащие друг другу ситуации. Опыт показывает, что «двухкванторные определения» трудны для восприятия школьников, поэтому важна опережающая формальное определение опора на наглядность. В такой ситуации работают оба полушария головного мозга ученика: правое, отвечающее за образы, и левое, отвечающее за формально-логическое мышление. Вводя понятия наименьшего (наибольшего) значения функции в 7 классе, а понятия ограниченности функции - в 8 классе, используются как раз геометрические образы. Например, ограниченность сверху трактуется геометрически так: весь график расположен ниже некоторой прямой. В последнем предложении фактически имеются оба квантора – весь график ниже некоторой прямой. Однако геометрическая иллюстрация помогает учащемуся преодолеть логические трудности. Вот так постепенно ум его «в порядок приводит».