IV. НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ИЗ ЗАДАЧНИКА «АЛГЕБРА-7»
Глава 1 «Математический язык. Математическая модель»
1. В выражении 5*6+24 : 3-2 расставьте скобки так, чтобы его значение было:
а) наименьшим; б) наибольшим.
2. Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя перечисленные цифры и не меняя порядок их следования:
а) 1, 2, 3, 4, 5; б) пять единиц; в) пять пятерок; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3. Составьте числовые выражения, используя в их записи только четыре четверки так, чтобы эти выражения принимали только следующие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Решение: 1. а) (5*6+24) : 3-2=16 – наименьшее значение;
б) 5*(6+24) : (3-2)=150 – наибольшее значение.
2. а) 100=(1*2+3)*4*5; б) 100=111-11; в) 100=(5+5+5+5)*5;
г) 100=1*23+4+5+67-8+9; 100=1+2+3+4+5+6+7+8*9.
3. 0=44-44; 1=44 : 44; 2=4 : 4+4 : 4; 3=(4+4+4) : 4;
4=4+(4-4) : 4; 5=(4*4+4) : 4; 6=(4+4) : 4+4; 6=(4+4) : 4+4;
7=44 : 4-4; 7=4+4-4 : 4; 8=((4+4) : 4)*4; 9=4+4+4 : 4;
10=(44-4) : 4.
Глава 2 «Степень с натуральным показателем и ее свойства»
1. Вычислите n+k, если 2n=1024, 3k=81.
2. Найдите х, если 22-3х=256.
3. Решите уравнение
.Глава 3 «Одночлены. Операции над одночленами»
1. Представьте заданный одночлен С в виде Bn, где В – некоторый одночлен, если С=256а36b216c1296, n=4.
2. Запишите во втором столбце такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом из первого столбца была равна многочлену, записанному в третьем столбце:
а) 5х+6 9х+7 б) a3+2a2b+b3 a3+2a2b+b3
в) 2c2d+3cd2-8 0
Глава 4 «Многочлены. Операции над многочленами»
1. Найдите значение числового выражения 3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)-232.
2. Докажите равенство (32+22)(34+24)( 38+28)(316+216)=0,2(332-232).
Решение: 1. 3=22-1, значит, 3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)-232 = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)-232 =
= (24-1)(24+1)(28+1)(216+1)-232 = (28-1)(28+1)(216+1)-232 = (216-1)(216+1)-232 = 232-1-232 = -1. | | |
2. представим 1как 0,2(32-22) и домножим на 1 левую часть. Далее решение аналогично примеру 1.
Глава 5 «Разложение многочленов на множители»
1. Докажите, что значение выражения
а) 106-57 кратно 59; б) 97+312 кратно 90; в) 810-227 кратно 14.
2. Пусть х1+х2=7, х1х2=2. Вычислите а) х22+х12; б) х12+х22, в) х14+х24; г) х13х22+х12х23. 
3. Докажите, что если a+b=9, то (a+1)(b+1)-(a-1)(b-1)=1.
4. Докажите тождество 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (a + b + c)(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a).
Решение: 1. а) 106-57 = 26 * 56 - 57 = 56 (26 – 5) = 56 * 59, значит, значение данного выражения делится на 59, т.е. кратно 59;
б) 97+312 = 314 + 312 = 312(32 + 1) = 312 * 10, полученное произведение делится на 9 и на 10, значит, делится и на 90, т.е. кратно 90.
2. б) х12+х22 = (х1+х2)2 - 2х1х2 = 49 – 4 = 45;
в) х14+х24 = (х12+х22)2 - 2х12 х22 = 452 – 2*(х1х2)2 =2025 – 2*4 = 2017;
г) х13х22+х12х23 = (х1х2)2 * (х1+х2) = 4*7 = 28.
; г) 
;
; е) 
.
. Постройте график функции у= 
. Опишите свойства функции с помощью полученного графика:
; 2. у = 
;
; 4. у = 
.
; 
