Интеграл Лебега (стр. 2 из 7)

x₀= a < x₁< x₂<¼< x_n= b

в каждой части [x_k, x_k₊₁] выбирается точка x_k и составляется риманова сумма

s =

Если сумма s при стремлении к нулю числа

l = max(x_k+1 – x_k).

стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a, b], ни от выбора точек x_k, то этот предел I называется интегралом Римана функции f(x) и обозначается символом

Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут

(R)

Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегрируема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируемые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Дирихле

, которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

1, если x рационально,

y(x) =

0, если x иррационально.

Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма s обращается в 0, если все точки x

иррациональны и s = 1, если все

рациональны.

Таким образом, риманово определение интеграла страдает существенными недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.

Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.

Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана s, мы дробим сегмент [a, b] на мелкие части [x₀, x₁], [x₁, x₂], ¼ ,[x_n_-1, x_n] (назовем их через e₀, e₁, ¼ , e_n_-1), в каждой части e_kберем точку x_kи, составив сумму

s =

требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек x_k в множествах е_k. Иначе говоря, каждая точка х из множества е_kможет быть взята за x_k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы s. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки x_k мало изменяет величину f(x_k). Но что же объединяет между собой различные точки х множества e_k? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо е_k есть малый сегмент [x_k, x_k₊₁].

Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки x_k в пределах множества e_k мало влияет на величину суммы s, но для функция разрывной это вовсе не так.

Иначе можно сказать, что множества e_k составлены так, что только для непрерывных функций значение f(x_k) можно считать нормальным представителем других значений функции на e_k.

Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R) необходимо, чтобы рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».

Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки xобъединяются в множества e_kне по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [a, b], расположенный на оси абсцисс, а сегмент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f(x):

A = y_o< y₁<¼< y_n = B

Если составить множества e_kтак:

e_k = E(y_k£ f < y_k+1),

то ясно, что различный точкам х Î е_kи в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на множестве e_kможет служить, например, y_k, так что естественно положить в основу понятия интеграла сумму

Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f(x), причем

A<f(x)<B. (1)

Разобьем сегмент [А, В] на части точками

y_o = A < y₁< y₂<¼< y_n = B

и соотнесем каждому полусегменту [у_k, у_k+1) множество

e_k = E(y_k£ f < y_k+1)

Легко проверить четыре свойства множеств e_k:

1) Множества e_kпопарно не пересекаются: e_ke_k_¢ = 0 (k¹k').

2) Эти множества измеримы.

3) E =

4) тЕ =

Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега sи S:

S =

Если мы положим

l = max (y_k+1 – y_k),

то будем иметь

0 £S – s£lmE. (2)

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s₀ и S₀. Если ми добавим новую точку дробления

и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется

s₀£ s, S £ S₀.

Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство. Допустим, что

y_i<

<y_i₊₁. (3)

Тогда при k¹iполусегменты [y_k, у_k+1), а с ними и множества e_k, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [y_i, y_i₊₁) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

[y_i,

), [
, y_i₊₁),

в связи с чем и множество e_i разбивается на два множества

= E(y_i£ f <
),
= E(
£ f < y_i+1).

Очевидно, что

e_i =

+
,

= 0,

так что

me_i = m

+ m
. (4)

Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s₀заменой слагаемого y_ime_i двумя слагаемымиy_im

+
m
, откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s³s₀.

Для верхних сумм рассуждение аналогично.

Следствие.Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.

Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s₁ и s₂ и верхние суммы S₁ и S₂.

Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s₃иS₃, то, в силу леммы, s₁£s₃, S₃£S₂, откуда, в связи с тем, что s₃£S₃, ясно, что s₁£S₂, а это и требовалось доказать.