Интеграл Лебега (стр. 4 из 7)
= 
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1.Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то
= 
. Действительно, если
А = Е(f¹g), B = E(f = g),
то mA = 0 и
= 
= 0. На множестве же В обе функции тождественны и
= 
. Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.
Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на сегменте [-1, +1], так:
1 при x³ 0, f(x) =
-1 при x< 0,
то
= 
+ 
= -1 + 1 = 0, хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.
Однако справедливо
Следствие 2.Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю
(f(x) ³ 0), то эта функция эквивалентна нулю.
В самом деле, легко видеть, что
E(f>0) =
. Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что
mE
= s> 0. Полагая
A = E
, B = B - A, мы имели бы, что
³ 
s, 
³ 0,и, складывая эти неравенства, мы получили бы
³ s,что противоречит условию.
Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и F(x), то
= 
+ 
. Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x)и с есть конечная постоянная, то
= c .Следствие.Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то
= 
- .Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если
f(x) £ F(x),
то
£ . Действительно, функция F(x)—f(x) не отрицательна, так что
- = 
³ 0.Теорема 6. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то
£ 
4. Предельный переход под знаком интеграла
Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций
f1(x), f2(x), f3(x), ¼ , fn(x), ¼
которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой ограниченной функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение
= 
(1) Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.
Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fn(x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:
n при xÎ 
, fn(x) =
0 при x
, то при всяком xÎ [0, 1] будет
fn(x) = 0, но 
= 1,и этот интеграл не стремится к нулю.
Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию fn(x), чтобы равенство (1) все же имело место.
Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.
Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1(x), f2(x), f3(x), ¼ измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции F(х)
fn(x) Þ F(x).
Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х
<K,то
= (1) Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х ÎЕ будет
£K. (2)В самом деле, из последовательности {fn(x)} можно (на основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность {
(x)}, которая сходится к F(x) почти везде. Во всех точках, где
(x) ® F(x), можно перейти к пределу в неравенстве
<K, что и приводит к (2).Пусть теперь sесть положительное число. Положим,
An(s) = E(
)³s), Bn(s) = E( )<s. Тогда
£ 
= 
+ 
.В силу неравенства
£ + , почтидля всех х из множества An(s) будет < 2K,так что по теореме о среднем
£ 2K×mAn(s) (3) (то обстоятельство, что неравенство
<2К может не выполняться на множестве меры 0, несущественно. Можно, например, функцию на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения).