Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами (стр. 2 из 8)
(1.1)или, что то же самое,
(1.1’)Свойства модуля непрерывности:
1.w(0)=0;
2.w(d) есть функция, монотонно возрастающая;
3.w(d) есть функция непрерывная;
4.w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых
и 
(1.2)Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.
Свойство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h. Свойство 4) следует из того, что если мы число
представим в виде h=h1+h2, 
и 
, то получим 
Из неравенства (1.2) вытекает, что если
то 
т.е. 
(1.3)Теперь докажем свойство 3). Так как функция f (x) равномерно непрерывна на [a,b], то
при 
и, следовательно, для любыхd, 
при 
а это и означает, что функция w(d) непрерывна.
Определение 4. Пусть функция f (x)определена на сегменте [a,b]. Тогда для любого натурального k и любых
и h>0 таких, что 
k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина 
(1.4)а при
и h>0 таких, что 
k-й симметричной разностью - величина 
(1.4’)Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство
(1.5)Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k
то
Лемма доказана.
Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:
(1.6)Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:
.Предполагая его справедливость при k-1 (k³2), получим
Лемма доказана.
Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ÎLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка k³1 понимают функцию
Лемма 3. Если
то справедливо 
(1.7)Доказательство. В самом деле,
и так далее. Лемма доказана.
Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a,b], то под её модулем гладкости порядка k³1 понимают функцию
заданную для неотрицательных значений
и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.Свойства модулей гладкости:
1.
2.
есть функция, монотонно возрастающая;3.
есть функция непрерывная;4.При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство
(1.8)а при любом
-неравенство 
(1.8’)5) Если функция f(x)имеет всюду на [a,b] непрерывные производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная
, то 
(1.9)Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что
2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.
3) Предполагая для определённости, что d>d’, получим
Этим непрерывность функции wk(d) доказана.
4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем
Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции wk(t) и неравенства (1.8).5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим
Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция
есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если 
где
-конечная разность функции f k-го порядка с шагом h: 
Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо
мы будем писать просто 
и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию 
мы будем называть модулем гладкости.Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция
-есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:1.
определена для 
,2.
не убывает,3.
,4.
Нетрудно показать, что если f º0, то
есть функция сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 §2).Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k-го порядка
. Будем говорить, что функция f принадлежит к классу 
, если найдётся константа С10>0 такая, что 
Вместо
будем писать просто Hka.