Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами (стр. 3 из 8)

Если для последовательности функций {f_n} (n=1,2,...)

где С₁₀ не зависит от n, то будем писать:

равномерно относительно n.

Понятие классов

является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную.

Определение 10. Зафиксируем число a>0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a(p=-[-a]). Будем говорить, что функция

принадлежит к классу , если она

1) есть функция сравнения p-го порядка и

2) удовлетворяет условию: существует константа С₁₁>0 такая, что для

Условие 2) является небольшим ослаблением условия «

не убывает». Функции класса N^a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.

Определение 11. Будем говорить, что функция

имеет порядок , если найдутся две положительные константы С₁₂и С₁₃ такие, что для всех t, для которых определены функции и ,

.

При выполнении этих условий будем писать

.

Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция

(1.10)

Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом

(1.10’)

Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция

(1.11)

Ядро Фейера F_n(t)является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства

(1.11’)

(1.11’’)

где D_k(t)-ядра Дирихле.

Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция

(1.12)

Свойства ядер Джексона.

а) При каждом n ядро J_n(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида

,

где j_k=j_k(n) - некоторые числа

б)

в)

г)

Доказательство.

а) Учитывая, что для ядер F_n(t) Фейера имеют место равенства

получим

где j_k(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем

Этим свойство а) доказано.

б) Это равенство следует из равенства, полученного для j₀.

в) Так как

при любом и при (**), то

г) Совершенно аналогично случаю в) получим

Что и требовалось доказать.

Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция

, (1.13)

n=1,2,3,...,k-натуральное, где

(1.13’)

Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:

а)

б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J_n,k(t)

является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1)

в)

n^2k-1, т.е. существуют постоянные С₁₄>0 и С₁₅>0, такие, что при всех n=1,2,3,... будет

г) При любом s>0 имеет место неравенство

д) При любом натуральном

Доказательство свойств ядер типа Джексона.

а) Это свойство вытекает из равенств определения

б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет

(1.14)

где

- некоторые целые числа.

в) Учитывая неравенства (**), будем иметь

(1.15)

С другой стороны

(1.15‘)

г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)

(1.16)

где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sint£t, при всех t³0 (***), имеем

(1.16‘)

A₁-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.

§2. Простейшие свойства модулей нерперывности.

Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f₁, f₂, ... - непрерывны.

ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого d³0

(2.1)

Доказательство: по определению,

Лемма доказана.

ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, lТогда для любого d³0

(2.2)

и

(2.3)

Доказательство: Положим

Тогда для 0£lимеем

откуда

Отсюда при l=0 вытекает, что

,

а при 0<l<k

Полагая в (2.3) l=1, находим, что

Из этого неравенства видно, что для любого натурального k

. (2.4)

ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка

является непрерывной функцией от d.